一元函数积分学(定积分几何应用和物理应用).ppt

四、液体压力 解题思路： (1) 适当选取坐标系及积分变量； (2) 写出液体压力元素 dF 的表达式； (以不变代变，其中用了公式 (3) 列出定积分并求值即得 F . 液体压力习例 解 在端面建立坐标系如图 解 建立坐标系如图 斜边方程为 积分变量为 小面积 五、万有引力 * 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 高等数学A 3.3 定积分的应用 第3章 一元函数积分学 3.3.2 体积(2) 3.3.3 平面曲线的弧长 3.3.4 定积分的物理应用 3.3 定积分的应用 3.3.2 立体体积 平行截面面积为已知的立体的体积 3.3.3 平面曲线弧长 直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形 计算曲线弧长习例3-7 计算立体体积习例1-2 3.3.4 物理应用 变力沿直线做功 变力做功习例8-12 液体压力 液体压力习例13-14 万有引力 万有引力习例15 函数的平均值与均方根 函数平均值习例16 内容小结 定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体，我们知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 一、立体体积 注意: 若立体垂直于 y 轴的截面面积为B(y), 则 计算立体体积习例 例1 例2 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 例1 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 例2 二、平面曲线弧长 弧长元素 弧长 1. 直角坐标情形 曲线弧为 弧长 2. 参数方程情形 曲线弧为 弧长 3. 极坐标情形 计算曲线弧长习例 例3 例4 例5 例6 例7 解 所求弧长为 例3 解 例4 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 例5 解 例6 解 例7 变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、 克服阻力作功、万有引力作功、 弹力作功等. 三、变力沿直线所作的功 解题思路： (1) 适当选取坐标系及积分变量； (2) 写出功元素 dw 的表达式； (以不变代变，其中用了公式 (3) 列出定积分并求值即得 w . 变力做功习例 例10 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问 作多少功？ (2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？ 例11 半径为R，比重为?(大于1)的球沉入深为H(2R)的 水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？ 例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？ 解 功元素 所求功为 点击图片任意处播放\暂停 解 建立坐标系如图 例9 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满 了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？ 这一薄层水的重力为 功元素为 (千焦)． 例10 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出， 问作多少功？ (2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？ 解 (1)如图所示建立坐标系， 则边界曲线方程为 选 x 为积分变量， 这一薄层水的重力为 (2)如图所示建立坐标系， 则边界曲线方程为 选 y 为积分变量， 这一薄层水的重力为 注意： 也可建立另一如图所示的坐标系， 则边界曲线方程为 选 x 为积分变量， 这一薄层水的重力为 例11 半径为R，比重为?(大于1)的球沉入深为H(2R)的 水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？ 解 如图所示建立坐标系， 则边界曲线方程为 选 x 为积分变量， 将其取出水面总行程为H , 在水中行程为H?2R?x , 在水外行程为H ?(H?2R?x) ? 2R ? x, 在水中作功的力为 在水外作功的力为 此时功元素为两部分 之和(水中与水外) 解 设木板对铁钉的阻力为 例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？ 第一次锤击时所作的功为 设 次击入的总深度为 厘米 次锤击所作的总功为 依题意知，每次锤击所作的功相等． 次击入的总深度为 第 次击入的深度为