复合函数的求导法则.doc

二 复合函数的求导法则 掌握导数的四则运算，复合函数的求导法则． 并能熟练运用法则解决实际问题。 教材、参考材料 复习：法则一: (u(x) ± v(x))￠ = u￠(x) ± v ￠(x); 法则二: (u(x)v(x))￠ = u(x)v￠(x) + u￠(x)v(x); 法则三 （约10分钟） 讲解新课 二、复合函数的求导法则（重点讲解，约50分钟） 定理2 设函数y=f(u)，u=?(x)均可导，则复合函数 y = f(? (x)) 也可导. 且 或 或 课堂练习（约25分钟） 小结（约5分钟） 二、复合函数的求导法则 定理2 设函数y=f(u)，u=?(x)均可导，则复合函数 y = f(? (x)) 也可导. 且 或 或 证：　设变量 x 有增量 ?x，相应地变量 u 有增量 ?u，从而 y 有增量 ?y. 由于 u 可导， 即 　推论　设y = f(u) ， u = ?(v)， v = ?(x) 均可导，则复合函数 y = f[?(?(x))] 也可导，且 例1 设 y = (2x + 1)5，求 y ?. 解　把 2x + 1 看成中间变量 u，将 y = (2x + 1)5看成是 y = u5，u = 2x + 1复合而成， 由于 所以 例2 设 y =sin2x，求 y ?. 解　这个函数可以看成是 y = sinx·sinx, 可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以 例3 设y=sin3x，求 . 解： 例4 设y=lncosx， 求 解： 设 解： 例6 设 y = etan x，求 y ?. 解　 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u =tanx 复合而成，所以复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出. 例7 求 y ?. 解　 例8 设 f(x) =arcsin(x2) ，求 f ?(x). 解 例9 求 y?. 解　 例10 求 y ?. 解 例11 求 y ?. 解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则. 例12 设 y =sin(xlnx)，求 y ?. 解　先用复合函数求导公式， 再用乘法公式 y? = cos(xlnx)·(xlnx)? = cos(xlnx)·(x ·(lnx)? + x ?lnx ) = (1+lnx)cos(xlnx) . 例13 解　先用复合函数求导公式，再用加法求导公式， 然后又会遇到复合函数 的求导. 补证一下 (x?)? = 所以(x?)? = (e?lnx)?= e?lnx·(?lnx) ?