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4.4.2 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析 考虑如下线性定常自治系统  x Ax (4.3) 式中，x R n , A R nn 。假设 A 为非奇异矩阵，则有唯一 的平衡状态x e 0 ，其平衡状态的稳定性很容易通 Lyapunov 第二法进行研究。 对于式(4.3)的系统，选取如下二次型 Lyapunov 函数， 即 V(x ) x H Px 式中 P 为正定 Hermite 矩阵（如果x 是实向量，且 A 是实 矩阵，则 P 可取为正定的实对称矩阵）。 ( ) V x 沿任一轨迹的时间导数为  H H  V(x ) x Px x Px (Ax )H Px x H PAx x H AH Px x H PAx x H (AH P PA)x 由于 ( )  V x 取为正定，对于渐近稳定性，要求V(x ) 为负 定的，因此必须有  H V(x ) x Qx 式中 ( H ) Q  A P PA 为正定矩阵。因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的 充分条件是 Q 正定。为了判断 nn 维矩阵的正定性，可采 用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所 有主子行列式均为正值。  在判别V(x ) 时，方便的方法，不是先指定一个正定矩 阵 P，然后检查Q 是否也是正定的，而是先指定一个正定 的矩阵Q，然后检查由 A H P PA Q 确定的 P 是否也是正定的。这可归纳为如下定理。 定理 4.8 线性定常系统  x Ax 在平衡点x e 0 处渐近稳 定的充要条件是：对于Q 0 ，P 0 ，满足如下 Lyapunov 方程 A H P PA Q 这里 P、Q 均为 Hermite 矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov 函数为 H  H V(x ) x Px ，V(x ) x Qx  H V x x Qx  时，可取Q 0 (正半定)。 特别地，当 ( ) 0 现对该定理作以下几点说明： (1) 如果系统只包含实状态向量x 和实系统矩阵 A，则 Lyapunov 函数x H Px 为x T Px ，且 Lyapunov 方程为 A T P PA Q (2) 如果  H