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空间向量与立体几何
一、知识网络:
空间向量与立体几何
空间向量与立体几何
空间向量及其运算
立体几何中的向量方法
空间向量的加减运算
空间向量的数乘运算
空间向量的数量积运算
空间向量的坐标运算
共线向量定理
共面向量定理
空间向量基本定理
平行与垂直的条件
向量夹角与距离
直线的方向向量与平面的法向量
用空间向量证平行与垂直问题
求空间角
求空间距离
二.考纲要求:
(1)空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;
② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
(2)空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量;
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向
本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算
一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法
三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、谈必威体育精装版考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。
学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。
(二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。
1.空间向量的概念
向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
B CO A说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;
B C
O A
2.向量运算和运算率
加法交换率:
加法结合率:
数乘分配率:
说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。
注意:当我们说、共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说、平行时,也具有同样的意义。
共线向量定理:对空间任意两个向量(≠)、,∥的充要条件是存在实数使=
(1)对于确定的和,=表示空间与平行或共线,长度为 ||,当0时与同向,当0时与反向的所有向量。
(3)若直线l∥,,P为l上任一点,O为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。
推论:如果?l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式 ①
其中向量叫做直线l的方向向量。
在l上取,则①式可化为 ②
当时,点P是线段AB的中点,则 ③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段AB的中点公式。
注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
4.向量与平面平行:如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内,我们就说向量平行于平面,记作∥。注意:向量∥与直线a∥的联系与区别。
共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量、不共线,则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y,使①
注:与共线向量定理一样,此
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