全等三角形第4讲全等三角形与旋转问题教师版.doc

2 - 第四 第四讲 全等三角形与旋转问题 中考要求 中考要求 板块 考试要求 A级要求 B级要求 C级要求 全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 知识点睛 知识点睛 基本知识 把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重、难点 重点： 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化 例题精讲 例题精讲 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )． A 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )． A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到 D 已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：． ∵、是等边三角形， ∴，， ∴，∴ 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形． 如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 C 【补充】已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：平分． 过点作于，于，由， 利用进而再证，可得到，故平分． 【补充】如图，点为线段上一点，、是等边三角形． 请你证明： ⑴； ⑵； ⑶平分． 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系． 与三角形各内角相等， 及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：； ，，，； ，； ，，； 为等边三角形． ⑴∵、是等边三角形， ∴，， ∴，∴ ⑵由易推得，所以，又， 进而可得为等边三角形．易得． ⑶过点作于，于，由， 利用进而再证，可得，故平分． 如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：． ∵与都是等边三角形 ∴，及 ∵，，三点共线 ∴， ∴ 在与中 ∴， ∴ ∵， ∴ 在与中 ∴，∴． (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：． ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【补充】(年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别是线段和的中点，则是( ) A．钝角三角形 　　B．直角三角形 C．等边三角形 　　D．非等腰三角形 易得．所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的．又为线段中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得．所以且，，故是等边三角形，选C． 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：． ∵是等边三角形，∴，． ∴，同理，．∴ 在与 中， ∴，∴． 如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形． ∵，∴， 又∵、分别是、的中点， ∴，∴， ∴ ∴是等边三角形 如图，是等边内的一点，且，，，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由． 连接，将条件，这两个条件，易得()，得，由，，(公共边)，知()，∴．故的度数是定值． (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值． 连结由上可知，，，，而，． ∴，∴，∴． 【补充】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：． 正方形中，， 而， ∴，∴ ∴，∴ (2004河北)如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且． 求证：． 证明：因为四边