弹性力学简明教程全程导学及习题全解.doc

1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。 注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。 1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。 2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？ 【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。 在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。 （2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。 在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换位，，就得到平面应变问题的物理方程。 2-8 试列出题2-8图（a），题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 【解】（1）对于图（a）的问题 在主要边界上，应精确满足下列边界条件： 在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件： 在小边界（次要边界）上，有位移边界上条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时， （2）对于图（b）所示问题 在主要边界上，应精确满足下列边界条件： 在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时， 在次要边界上，有位移边界条件：这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替 2-9 试应用圣维南原理，列出题2-9图所示的两个问题中OA边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？ 【解】（1）对于图（a），上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为，，。应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚时， （2）对于图（b），应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚时， 所以，在小边界OA边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问题为静力等效的。 2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解】（1）用位移表示的平衡微分方程 （2）用位移表示的应力边界条件 （3）位移边界条件 2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解】（1）平衡微分方程 （2）相容方程 。 （3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，） /. （4）若为多连体，还须满足位移单值条件。 2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答： （a）题2-13图（a），。 （b）题2-13图（b），由材料力学公式，（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答： 。 又根据平衡微分方程和边界条件得出 。 试导出上述公式，并检验解答的正确性。 【解】按应力求解时，（本题体力不计），在单连体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设）。 题2-13图（a）， 相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23） ， 不满足相容方程。 平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程 显然满足。 应力边界条件：在边界上， 。 在边界上， 。 满足应力边界条件。 题2-13图（b），由材料力学公式，（取梁的厚度b=1）， 得出所示问题的解答：。又根据平衡微分俄方程和边界条件得出。试导出上述公式，并检验解答的正确性。 推导公式： 在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对z轴（中性轴）的惯性距，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为。 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为 ， 。 根据平衡微分方程的第二式（体力不计） ， 得到 。 根据边界条件 得 ， 所以 。 相容条件： 将应力分量代入相容方程 。 不满足相容方程。 平衡方程： 将应力分量代入平衡微分方程显然满足。 应力边界条件： 在主要边界上，应精确满足下列边界条件： 自然满足。 在x=0的次要边界上，外力的主矢量，主矩都为零。有三个积分的应力边界条件： 在次要边界上，。这两个位移边界条件可以改用积分的应力边界条件来代替。 所以，满足应力的边界条件。 显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件，但不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。 2-15设已求一点处的应力分量，试求： （a） （b） 【解】根据教材中式（2-6）和可分别求出主应力和主应力的方向： （a） （b） 2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集