八年级上学期期末复习试卷(代数几何压轴题).doc

可编辑版 第一届清北班数学试卷 第一届清北班数学试卷 1 第 = page 6 *212页 共 = numpages 5*2 10页 第一届清北班数学试卷 1 第3页 共 = numpages 5*2 10页 Word完美格式 班级： 班级： 姓名：____________座号：_____________ 密 封 线 清北班数学科试题（几何压轴题） 1．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动． 小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”； 小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”． （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图； （2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由． ①摆出等边“整数三角形”； ②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”． 【解答】解：（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”： 小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”： （2）①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下： 设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为． 因为，若边长a为整数，那么面积一定非整数． 所以不存在等边“整数三角形”； ②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”： 2．（2008?江西）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处； （1）求证：B′E=BF； （2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明． 【解答】（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠BEF，∴B′F=B′E，∴B′E=BF； （2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2． 证明：连接BE，由（1）知B′E=BF=c， ∵B′E=BE，∴四边形BEB′F是平行四边形，∴BE=c． 在△ABE中，∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2， ∵AE=a，AB=b，∴a2+b2=c2； （ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c． 证明：连接BE，则BE=B′E． 由（1）知B′E=BF=c， ∴BE=c，在△ABE中，AE+AB＞BE，∴a+b＞c． 3．（2007?鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． （1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可） （2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）． （3）证明：连接EC， ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE， ∵∠CBE=60°， ∴EC=BC=BE，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， ∴DC2+EC2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2． 即四边形ABCD是勾股四边形． 、 4．（2013?莆田模拟）阅读下面材料，并解决问题： （I）如图4，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5．则∠APB=　150°　，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌　△ABP　．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数． （II）（拓展运用）已知△ABC三边长a，b，c满足． （1）试判断△ABC的形状　等腰直角三角形　 （2）如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴建