高等数学 第一节 对弧长曲线积分.pptVIP

一、对弧长的曲线积分的定义 二、 对弧长的曲线积分的性质 三、对弧长的曲线积分的计算 四、 对弧长的曲线积分的应用 作业 第九章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对面积的曲面积分 第三节 对坐标的曲线积分 第四节 对坐标的曲面积分 第五节 Green公式 第六节 Gauss公式 第七节 Stokes公式 第一节 对弧长的曲线积分 对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积分与重积分已经带来了很大的方便, 但是, 有些实际问题与理论问题, 这两种积分还解决不了, 于是, 又引进了曲线积分与曲面积分, 它们与前者的基本思想是一致的. 本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面积分, 重点是曲线积分与路径无关的问题以及Green (格林)公式与Gauss(高斯)公式. 一、对弧长的曲线积分的定义 二、对弧长的曲线积分的性质 三、对弧长的曲线积分的计算 四、对弧长的曲线积分的应用 线密度为连续函数z = f (x, y), 利用分割作和、取极限的方法求该构件的质量. 定义1 如果连续曲线y = f (x)上到处都有切线, 当切点连续变动时, 切线也连续转动, 就称此曲线为光滑曲线. 设有一曲线形构件, 它在xOy 平面内是一条光滑曲线弧L,见图9-1. 图9-1 在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分成n小段, 在 上任意取一点(?i, ?i), 弧段 的长度为?si, 记 Mi-1Mi Mi-1Mi ? = max{?s1, ?s2, ? , ?sn} 则该构件的质量为 图9-1 定义2 设L为xOy平面内的一条光滑曲线, z = f (x, y) 为L上的连续函数, 用分点M1, M2, …, Mn-1, 把L分成n小段, 在 存在, 则将此极限值称为函数f (x, y)在L上对弧长的曲线积分, 记为 其中, f (x, y)称为被积函数, L称为积分弧段. 上任意取一点(?i, ?i), ?si表示 的长度, Mi-1Mi Mi-1Mi 记 ? = max{?s1, ?s2, ? , ?sn}, 如果 定理1 当 f(x, y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分 存在. 由对弧长的曲线积分的定义可知, 定积分的所有性质都可以移植过来. 性质1 设k为常数, 则 设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在. 性质2 性质3 将L分成L1 与L2, 则 其中L0表示L的长度 性质4 性质5 f (x, y) ? g (x, y), 则 性质6 在L上若设m ? f (x) ? M, 则 其中L0表示L的长度 性质7 当 f (x, y)在光滑曲线弧 L上连续时, 必有L上某点(?, ?), 使得 定理2 设 f (x, y)在曲线 L上连续, L的参数方程为 (? ? t ? ?) 其中? (t), ? (t) 在[?, ?]上具有一阶连续导数, 且? ?2(t) + ? ?2(t) ? 0, 则有公式(1)成立. (1) 设下面的函数和曲线都满足定理2的条件, 则还有如下公式. 积分上限要大于下限. 设L: y = y ( x ) (a ? x ? b), 则有 设L: r = r (? ) (? ?? ?? ), 则有 设L: x = x ( y ) (c ? y ? d), 则有 设L: x =?(t), y =?(t), z =?(t) (? ?t?? ), 则有 定理3 设 f ( x, y )和L满足定理2的条件, 若f (x, y) = f (x, ?y ), L关于轴对称, L1表示L的位于 x 轴上方的部分, 则有 若 f (x, y) = ? f (x, ?y), 则 例1 L是整条星形线 解 设 L1: x = cos3t , y = sin3t , (0 ? t ? ? / 2), 由定理3可知, 于是 例2 求 L为圆 x2 + y2 = ax ( a 0 ). 解 把L写成极坐标形式r = a cos? , - ?/2 ?? ??/2 利用公式(4), 有