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常用逻辑用典型例题
常用逻辑用语
1.命题及其真假判断
(1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题,但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
[例1] 下列语句哪些是命题,是命题的判断其真假.
①方程x2-2x=0的根是自然数;
②sin(α+β)=sinα+sinβ(α,β是任意角);
③垂直于同一个平面的两个平面平行;
④函数y=12x+1是单调增函数;
⑤非典型肺炎是怎样传染的?
⑥奇数的平方仍是奇数;
⑦好人一生平安!
⑧解方程3x+1=0;
⑨方程3x+1=0只有一个解;
⑩3x+1=0.
[解析] ①②③④⑥⑨都是命题,其中①④⑥⑨为真命题.
[点评] ⑤是疑问句,⑦是感叹句,⑧是祈使句都不是命题,⑩中由于x的值未给,故无法判断此句的真假,因而不是命题.
[误区警示] 含有未知数的等式、不等式,当式子成立与否与未知数的值有关时,它不是命题.
(2)复合命题的真假判断是个难点,当直接判断不易着手时,可转为判断它的等价命题——逆否命题,这是一种重要的处理技巧.
[例2] 判断命题:“若a+b≠7,则a≠3,且b≠4”
[解析] 其逆否命题为:“若a=3或a=4,则a+b=7”
∴原命题为假.
2.四种命题的关系
(1)注意:若p,则q,不能写作“p?q”,因为前者真假未知,而“p?q”是说“若p,则q”是一个真命题.
(2)原命题与其逆否命题等价,原命题的逆命题与原命题的否命题也等价.从而四种命题中有两对同真同假.
(3)互逆或互否的两个命题不等价,其真假没有联系.
[例3] 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判定其真假:
(1)?n∈N,若n是完全平方数,则∈N;
(2)?a,b∈R,如果a=b,则a2=ab;
(3)如果x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;
(4)如果a,b都是奇数,则ab必是奇数.
(5)对于平面向量a,b,c,若a·b=a·c,则b=c.
[解析] (1)逆命题:?n∈N,若eq \r(n)∈N,则n是完全平方数.(真)
否命题:?n∈N,若n不是完全平方数,则eq \r(n)?N.(真)
逆否命题:?n∈N,若eq \r(n)?N,则n不是完全平方数.(真)
(2)逆命题:?a,b∈R,若a2=ab,则a=b.(假)
否命题:?a,b∈R,若a≠b,则a2≠ab.(假)
逆否命题:?a,b∈R,若a2≠ab,则a≠b.(真)
(3)逆命题:若(x-3)(x-7)=0,则x=3或7.(真)
否命题:若x≠3且x≠7,则(x-3)(x-7)≠0.(真)
逆否命题:若(x-3)(x-7)≠0,则x≠3且x≠7.(真)
(4)逆命题:若ab是奇数,则a、b都是奇数.(假)
否命题:若ab不全是奇数,则ab不是奇数.(假)
逆否命题:若ab不是奇数,则a、b不全是奇数.(真)
(5)逆命题:对于平面向量a、b、c,若b=c,则a·b=a·c.(真)
否命题:对于平面向量a、b、c,若a·b≠a·c,则b≠c.(真)
[误区警示] ①“p或q”的否定为“綈p且綈q”;“p且q”的否定为“綈p或綈q”.
②实数xy=0,则有x=0或y=0,向量a、b满足a·b=a·c不能得出b=c.
3.量词与复合命题
(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系,借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解.
逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解,如图.
含有逻辑联结词的复合命题真假判断,要以真值表为标准.
[例4] 分析下列命题的构成,并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来:
(1)x+1是x3+x2-x-1与x3+1的公因式;
(2)方程x2=1的解是x=±1;
(3)点(3,4)不在圆x2+y2-2x+4y+3=0上;
(4)3≥3.
[例4] 分析下列命题的构成,并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来:
(1)x+1是x3+x2-x-1与x3+1的公因式;
(2)方程x2=1的解是x=±1;
(3)点(3,4)不在圆x2+y2-2x+4y+3=0上;
(4)3≥3.
[解析] (1)p∧q形式,其中p:x+1是x3+x2-x-1的因式,q:x+1是x3+1的因式.
(2)p∨q形式,其中p:方程x2=1的一个解是x=1,q:方程x2=1的一个解是x=-1.
(3)綈p形式,其中p:点(3,4)在圆x2+y2-2x+4y+3=0上.
(4)p∨q形式,其中p:33,q:3=3.
[误区警示] 若把方程x2=1的解是x=±1,写成简单命题p:x2=1的解是x=1,q:x2=1的解是x=-1,p∨q形式,就错了,从真值表判断,p,q都是假命题,但原命题为真命题.
[例5] 写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)p:有些三角形是直角三角形.
(2)p:方程2x+1
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