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阅读理解(二)(24题)
典型例题:
例1、进位制是一种记数方式,可以用有限的数字符号代表所有的数值,使用数字符号的数目称为基数,基数为n,即可称n进制.现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数,特点是逢十进一.对于任意一个用进制表示的数,通常使用个阿拉伯数字~进行记数,特点是逢进一.我们可以通过以下方式把它转化为十进制:
例如:五进制数,记作,
七进制数,记作.
(1)请将以下两个数转化为十进制: , ;
(2)若一个正数可以用七进制表示为,也可以用五进制表示为,请求出这个数并用十进制表示.
例2、如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差,那么称这个自然数为智慧数,例如:
,16就是一个智慧数,小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索:
小明的方法是一个一个找出来的:
,,,,,,
,,,。。。。
小王认为小明的方法太麻烦,他想到:
设k是自然数,由于。
所以,自然数中所有奇数都是智慧数。
问题:
根据上述方法,自然数中第12个智慧数是______
他们发现0,4,8是智慧数,由此猜测4k(且k为正整数)都是智慧数,请你参考小王的办法证明4k(且k为正整数)都是智慧数。
他们还发现2,6,10都不是智慧数,由此猜测4k+2(k为自然数)都不是智慧数,请利用所学的知识判断26是否是智慧数,并说明理由。
例3、如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上,左边数位上的数总比右边数位上的数大,那么我们把这样的自然数叫做“妙数”.例如:,,,…,都是“妙数”.
若某个“妙数”恰好等于其个位数的倍,则这个“妙数”为;
证明:任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上得到的结果一定能被整除;
在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数作为千位上的数字,从而得到一个新的四位自然数,且大于自然数百位上的数字.是否存在一个一位自然数,使得自然数各数位上的数字全都相同?若存在,请求出和的值;若不存在,请说明理由.
例4、连续整数之间有许多神奇的关系,
如:32+42=52,这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方,称这样的正整数组为“奇幻数组”,进而推广:设三个连续整数为a,b,c(a<b<c)
若a2+b2=c2,则称这样的正整数组为“奇幻数组”;
若a2+b2c2,则称这样的正整数组为“魔幻数组”;
若a2+b2c2,则称这样的正整数组为“梦幻数组”。
(1)若有一组正整数组为“魔幻数组”,写出所有的“魔幻数组”;
(2)现有几组“科幻数组”具有下面的特征:
若有3个连续整数: EQ \F(32+42+52,25)=2;
若有5个连续整数: EQ \F(102+112+122+132+142,365)=2;
若有7个连续整数: EQ \F(212+222+232+242+252+262+272,2030)=2;
…
由此获得启发,若存在n(7n11)个连续正整数也满足上述规律,求这n个数.
例5、观察下列等式:
12×231=132×21, 14×451=154×41, 32×253=352×23, 34×473=374×43,45×594=495×54,……
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子成为“数字对称等式”:
①35× = ×53; ② ×682=286× .
(2)设数字对称式左边的两位数的十位数字为m,个位数字为n,且2≤m+n≤9.用含,的代数式表示数字对称式左边的两位数与三位数的乘积,并求出 能被110整除时mn的值.
例6、阅读材料:
材料一:对于任意的非零实数x 和正实数k ,如果满足为整数,则称k 是x 的一个“整商系数”。
例如:x=2时,k=3=1,则3是2 的一个整商系数;
x=2时,k=12,=8,则12 也是2 的一个整商系数;
x=时,k=6,=-1,则6 是的一个整商系数;
结论:一个非零实数x有无数个整商系数k ,其中最小的一个整商系数记为k(x),例如:k(2)=
材料二:对于一元二次方程 (a≠0)中,两根,有如下的关系:
,?
应用:
⑴ k()= ;k()= ;
⑵若实数a(a<0)满足k()>k(),求a的取值范围。
⑶若关于x的方程:的两个根分别为,,且满足k()+k()=9,则b的值为多少?
例7、小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如.善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中均为整数),则
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