高等数学第一章总结.pptVIP

习题课 一、函数： 函数的特性： 数列的有界性： 二、极限 例. 证明 1. 例： 思考与练习 定理: 定理: 无穷小（量）： 两个重要极限 思考与练习 例. 求下列极限： 令 极限的计算方法： 例. 三、 连续与间断 小结： 闭区间连续函数的性质小结： 第一章习题课结束  谢 谢 配 合！再见！ 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 , 求 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设 由递推式两边取极限得 不对! 此处 例 解 意义： 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 注意: 　该定理是上个定理的特殊情况. 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 两个重要极限： ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 2. 1. 或 注: 代表相同的表达式 填空题 ( 1～4 ) 提示: 无穷小 有界 ～ 则有 复习: 若 则 -2 填空题： 1. 2. 0 1、极限的四则运算法则及其推论； 2、多项式与分式函数代入法求极限; 3、消去零因子法求极限; 4、无穷小因子分出法(等价无穷小代换)求极限; 5、利用无穷小运算性质求极限; 6、利用左右极限求分段函数极限; 7、复合函数极限运算法则;(尤其利用复合函数连续性) 8、利用两边夹逼准则求极限; 9、利用罗比达法则求极限; 10、利用泰勒公式求极限; 11、利用定积分求极限; 12、利用无穷级数的性质求极限; … … … … 思考题: 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？ 与 是否有极限？ 思考题解答: 没有极限． 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾， 故假设错误． 思考题: 任何两个无穷小都可以比较吗？ 思考题解答: 不能． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时 例 解 例： 例： 思考题：（如何做……？？） 说明: 对于形如: 的函数， 通常称为幂指函数． 如果 那么有 思考题: 解: 原式 例. 求 例 解 解法讨论 典型例题 例： 例： 1. 函数连续的等价形式 有 2. 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）. 第二类间断点:（左右极限至少有一个不存在的间断点）. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 在 上有最大值与最小值; 上可取最大值与最小值之间的任何值; 3. 若 使 至少存在一个 上有界; 在 在 * * 性质（闭区间上连续函数） 函数 极限（数列极限、函数极限） 连续（或间断） 内容 :函数的分类 函数 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) 邻域: 绝对值: 运算性质: 绝对值不等式: M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 1．函数的有界性: 补充内容： 1.单调递增且有上界数列必有极限。 2.单调递减且有下界数列必有极限。 2．函数的单调性: x y o x y o 3．函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x 奇函数 y x o x -x 函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. ． 典型例题 例 解 例 解 故 思考题 思考题解答 设 则 故 函数极限的统一定义 (见下表) 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 思考题 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 补充结论： 小结: 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例 解 例 (消去零因子法) 例 解 (无穷小因子分出法) 结论: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例 解 先变形再求极限. 证: 利用夹逼准则 . 且 由 例： 求极限 解： 原式 2. 求极限 提示： 原式 左边 = 右边 故极限存在， 设 , 且 求 解： 设 则由递推公式有 ∴数列单调递减有下界， 故 利用极限存在准则 *