高二平面向量典型例题(老师).doc

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word格式完美整理 PAGE 可编辑版 【典型例题】 类型一、平面向量的相关概念 例1. 下列说法中正确的是 ① 非零向量与非零向量共线,向量与非零向量共线,则向量与向量共线; ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点; ③ 向量与不共线,则与所在直线的夹角为锐角; ④ 零向量模为0,没有方向; ⑤ 始点相同的两个非零向量不平行; ⑥ 两个向量相等,它们的长度就相等; ⑦ 若非零向量与是共线向量,则A、B、C、D四点共线。 【答案】①⑥ 【解析】 ① 向量共线即方向相同或相反,故非零向量间的共线关系是可以传递的; ②相等向量是共线的,故四点可能在同一直线上; ③ 向量不共线,仅指其所在直线不平行或不重合,夹角可能是直角或锐角; ④零向量不是没有方向, 它的方向是任意的; ⑤ 向量是否共线与始点位置无关; ⑥ 两个向量相等,它们的长度相等,方向相同; ⑦共线向量即平行向量,非零向量与是共线向量,可能A、B、C、D四点共线,也可能AB、CD平行。 【总结升华】 从向量的定义可以看出,向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特殊向量,它似乎很不起眼,但又处处存在。因此,正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量,它们可以在同一直线上,也可以所在直线互相平行,方向可以相同也可以相反;相等向量则必须大小相等、方向相同。 举一反三: 【变式1】判断下列各命题是否正确,并说明理由: (1) 若,则; (2) 单位向量都相等; (3) 两相等向量若起点相同,则终点也相同; (4) 若,,则; (5) 若,则; (6) 由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行. 【答案】 (1) 错;模相等,方向未必相同; (2) 错;模相等,方向未必相同; (3) 正确;因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合; (4) 正确;由定义知是对的; (5) 错;向量不能比较大小; (6) 错;规定:零向量与任意向量平行. 【变式2】在复平面中,已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0). 给出下面的结论: ①直线OC与直线BA平行;②;③;④. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D. 【答案】C 【解析】,,∴OC∥AB,①正确; ∵,∴②错误; ∵,∴③正确; ∵,,∴④正确. 故选C. 类型二、平面向量的加减及其线性运算 例2. 如图,已知梯形中,,且,、分别是、的中点,设,,试以、为基底表示、、. 【解析】连结,则 ; ∵ ∴, ∴; 又 ∴. 【总结升华】①本题实质上是平面向量基本定理的应用,由于,是两个不共线的向量,那么平面内的所有向量都可以用它们表示出来. ②本题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等、平行关系,结合平行向量、相等向量的概念,向量的线性运算,变形求解. 举一反三: 【变式1】在△ABC中,已知D是AB边上一点,若,,则=________.【答案】 【解析】由图知 ① , ② 且。 ①+②×2得:,∴,∴. 【变式2】△ABC中,点D在AB上,平分,若,,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【变式3】如图,为平行四边形边上一点,且,设,,若,,求的值. 【解析】 ① 又 而,∴ ② 由①②解得. 【变式4】若是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【变式5】已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为为边中点,所以由平行四边形法则可知:, 又,所以. 例3.设两个非零向量不共线, (1)若求证:,,三点共线. (2)试确定实数,使和共线. 【解析】(1)证明: ; 共线, 又它们有公共点,,,三点共线. (2)和共线,存在实数,使, 即, 是不共线的两个非零向量, . 【总结升华】 ①证明三点共线问题,可以用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. ②向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数与方程思想的运用. 举一反三: 【变式1】已知平面内有一点P及一个△ABC,若,则( ) A.点P在△ABC外部 B.点P在线段AB上 C.点P在线段BC上

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