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抽象函数问题的题型综述
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型:
一. 求某些特殊值
这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R上的函数满足:且,求的值。
解:由,
以代入,有,
为奇函数且有
又由
故是周期为8的周期函数,
例2 已知函数对任意实数都有,且当时,
,求在上的值域。
解:设
且,
则,
由条件当时,
又
为增函数,
令,则
又令
得
,
故为奇函数,
,
上的值域为
二. 求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉“”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。
例3 已知是定义在()上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足,试确定的取值范围。
解:是偶函数,且在(0,1)上是增函数,
在上是减函数,
由得。
(1)当时,
,不等式不成立。
(2)当时,
(3)当时,
综上所述,所求的取值范围是。
例4 已知是定义在上的减函数,若对恒成立,求实数的取值范围。
解:
对恒成立
对恒成立
对恒成立,
三. 解不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通过函数的单调性去掉函数符号“”,转化为代数不等式求解。
例5 已知函数对任意有,当时,,,求不等式的解集。
解:设且
则
,
即,
故为增函数,
又
因此不等式的解集为。
四. 证明某些问题
例6 设定义在R上且对任意的有,求证:是周期函数,并找出它的一个周期。
分析:这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,其一般解法是根据所给关系式进行递推,若能得出(T为非零常数)则为周期函数,且周期为T。
证明:
得
由(3)得
由(3)和(4)得。
上式对任意都成立,因此是周期函数,且周期为6。
例7 已知对一切,满足,且当时,,求证:(1)时,(2)在R上为减函数。
证明:对一切有。
且,令,得,
现设,则,,
而
,
设且,
则
,
即为减函数。
五. 综合问题求解
抽象函数的综合问题一般难度较大,常涉及到多个知识点,抽象思维程度要求较高,解题时需把握好如下三点:一是注意函数定义域的应用,二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”,三是利用函数单调性去掉函数符号“”。
例8 设函数定义在R上,当时,,且对任意,有,当时。
(1)证明;
(2)证明:在R上是增函数;
(3)设,
,若,求满足的条件。
解:(1)令得,
或。
若,当时,有,这与当时,矛盾,
。
(2)设,则,由已知得,因为,,若时,,由
(3)由得
由得 (2)
从(1)、(2)中消去得,因为
,
即
例9 定义在()上的函数满足(1),对任意都有,
(2)当时,有,
(1)试判断的奇偶性;(2)判断的单调性;
(3)求证。
抽象函数问题分类解析
我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中,由于这类问题抽象性强,灵活性大,多数同学感到困惑,求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析,供学习参考。
1. 求定义域
这类问题只要紧紧抓住:将函数中的看作一个整体,相当于中的x这一特性,问题就会迎刃而解。
例1.函数的定义域为,则函数的定义域是__
分析:因为相当于中的x,所以,解得
或。
例2.已知的定义域为,则的定义域是______。
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