初等方法建模.ppt

物理量的量纲 X→[x]或dimx 长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 时间 t 的量纲记 T=[t] 动力学中基本量纲 L, M, T 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 导出量纲 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 面积s的量纲[s]=L2 密度的量纲[ρ]=ML-3 2.3.2 量纲分析 2.3.2 量纲分析 量纲齐次原则 任何一个有意义的等式（方程）左右两端的量纲应保持一致 引力常数 k 的量纲 [k] 对无量纲量?，[?]=1(=L0M0T0) =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2 量纲分析~利用量纲齐次原则寻求各物理量之间的关系 例：单摆运动 l mg m 求摆动周期 t 的表达式 设物理量 t, m, l, g 之间有关系式 ?1, ?2, ?3 为待定系数，?为无量纲量 (1)的量纲表达式 对比 2.3.2 量纲分析 对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 为什么假设这种形式 设p= f(x,y,z) x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍 p= f(x,y,z)的形式为 2.3.2 量纲分析 单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 y1~y4 为待定常数, ?为无量纲量 2.3.2 量纲分析 为了导出量纲分析中的一般方法，设 设 f(q1, q2, ?, qm) = 0 ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r F(? 1, ?2,…, ?m-r ) = 0 与 f (q1, q2, ?, qm) =0 等价, F未定。 Pi定理 (Buckingham) 是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, ? , Xn 是基本量纲, n?m, q1, q2, ? , qm 的量纲可表为 量纲矩阵记作 线性齐次方程组 有 m-r 个基本解，记作 为m-r 个相互独立的无量纲量, 且 则 2.3.2 量纲分析 [f] = LMT-2 ,[l]=[h]=L, [v] = LT-1, [?] = L-3M, [μ]=L-1MT-1 ,[g] = LT-2 量纲分析示例：波浪对航船的阻力 航船阻力 f 船体长l，吃水深度h，航船速度v, 海水密度?, 粘度系数μ，重力加速度g m=7, n=3 2.3.2 量纲分析 Ay=0 有m-r=4个基本解 rank A = 3 rank A = r Ay=0 有m-r个基本解 ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r m-r 个无量纲量 波浪对航船的阻力 为得到阻力 f 的显式表达式 F=0 ? 未定 F(? 1, ?2,…, ?m-r ) = 0 与 f (q1, q2, ?, qm) =0 等价 F(?1, ?2 ,?3 ,?4 ) = 0与?(f,l,h,v,?,μ,g) = 0 等价 波浪对航船的阻力 量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 ? (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲 有目的地构造 Ay=0 的基本解 方法的普适性 函数F和无量纲量未定 不需要特定的专业知识 2.3.3 物理模拟中的比例模型 单摆运动 及原型中各物理量为 因为λ量纲为1，在原型和模型中不变 又因为g=g 所以有 如果按比例尺为4：1设计模型的摆长，那么测定了模型的周期以后，原型周期取为模型周期的2倍。 例: 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 ~模型船的参数(均已知) 可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 f ,l ,h ,v ,ρ ,μ ,g ~原型船的参数 (f 未知，其他已知) 注意：二者的?相同 2.3.3 物理模拟中的比例模型 当ρ=ρ′，μ= μ′时 考虑改变模拟所用液体粘度 l=l′, h=h′,无法进行模拟 ▼ 当无量纲量满足 按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f ~ 物理模拟 即设μ≠ μ′，仍设ρ=ρ′，则 当l= l′/20时， μ= 0.01μ′，而技术上很难得到如此小的粘度的液体 考虑在一定的条件下Re数（ ）的影响较小，忽略它，得 例：火箭发射 m1 m2 x r v 0 g 星球表面竖直发射。初速v, 星球半径r, 表面重力加速度g 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律 ——3个独立参数 2.3.4 无量纲化 用无量纲化方法