求极限的方法与例题总结.doc

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可编辑版 PAGE Word完美格式 1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:; (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限  这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有 (1) (2) (3) 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 .?利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。    8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 解:原式= 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 解:原式= 。 例3 解:原式 。 3.两个重要极限 (1) (2) ; 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 例如:,,;等等。 利用两个重要极限求极限 例5 解:原式= 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例6 解:原式= 。 例7 解:原式= 。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: ~~~~~~ 。 说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价 关系成立,例如:当时, ~ ; ~ 。 定理4 如果函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且等于,即=。 利用等价无穷小代换(定理4)求极限 例9 解:~,~, 原式= 。 例10 解:原式= 。 注:下面的解法是错误的: 原式= 。 正如下面例题解法错误一样: 。 例11 解:, 所以, 原式= 。(最后一步用到定理2) 五、利用无穷小的性质求极限 有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。 例 1. 2. 5.洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大; (2)和都可导,且的导数不为0; (3)存在(或是无穷大); 则极限也一定存在,且等于,即= 。 说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。 利用洛比达法则求极限 说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。 例12 (例4) 解:原式= 。(最后一步用到了重要极限) 例13 解:原式= 。 例14 解:原式== 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限) 例15 解: 例18 解:错误解法:原式= 。 正确解法: 应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。 例19 解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限 不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下: 原式= (分子、分母同时除以x) = (利用定理1和定理2) 6.连续性 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有 。 利用函数的连续性(定理6)求极限 例4 解:因为是函数的一个连续点, 所以 原式= 。 7.极限存在准则 定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。 四、利用单调有界准则求极限 首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限。 例1. 设, 求极限。 定理8(准则2) 已知为三个数列,且满足: (1) (2) , 则极限一定存在,且极限值也是a ,即。 10.?夹逼定理 利用极限存在准则求极限 例20 已知,求 解:易证:数列单调递增,且有界(02),由准则1极限存在,设 。对已知的递推公式 两边求极限,得: ,解得:或(不合题意,舍去) 所以 。 例21 解: 易见: 因为 , 所以由准则2得: 。 9.?洛必达法则与等价无穷小替换结合法 对于一些函数求极限问题,

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