- 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
可编辑版
PAGE
Word完美格式
1.定义:
说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;
(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2.极限运算法则
定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有 (1)
(2)
(3)
说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。
.?利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限
例1
解:原式= 。
注:本题也可以用洛比达法则。
例2
解:原式= 。
例3
解:原式 。
3.两个重要极限
(1)
(2) ;
说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
例如:,,;等等。
利用两个重要极限求极限
例5
解:原式= 。
注:本题也可以用洛比达法则。
例6
解:原式= 。
例7
解:原式= 。
4.等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
~~~~~~ 。
说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价
关系成立,例如:当时, ~ ; ~ 。
定理4 如果函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且等于,即=。
利用等价无穷小代换(定理4)求极限
例9
解:~,~,
原式= 。
例10
解:原式= 。
注:下面的解法是错误的:
原式= 。
正如下面例题解法错误一样:
。
例11
解:,
所以, 原式= 。(最后一步用到定理2)
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. 2.
5.洛比达法则
定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;
(2)和都可导,且的导数不为0;
(3)存在(或是无穷大);
则极限也一定存在,且等于,即= 。
说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限
说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。
例12 (例4)
解:原式= 。(最后一步用到了重要极限)
例13
解:原式= 。
例14
解:原式== 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)
例15
解:
例18
解:错误解法:原式= 。
正确解法:
应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。
例19
解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限
不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:
原式= (分子、分母同时除以x)
= (利用定理1和定理2)
6.连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有 。
利用函数的连续性(定理6)求极限
例4
解:因为是函数的一个连续点,
所以 原式= 。
7.极限存在准则
定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限。
例1. 设,
求极限。
定理8(准则2) 已知为三个数列,且满足:
(1)
(2) ,
则极限一定存在,且极限值也是a ,即。
10.?夹逼定理
利用极限存在准则求极限
例20 已知,求
解:易证:数列单调递增,且有界(02),由准则1极限存在,设 。对已知的递推公式 两边求极限,得:
,解得:或(不合题意,舍去)
所以 。
例21
解: 易见:
因为 ,
所以由准则2得: 。
9.?洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题,
您可能关注的文档
最近下载
- 药物临床试验 实施中盲态保持•广东共识(2021 年版.pdf VIP
- 3.9地表探秘(教学课件)五年级科学上册(冀人版).ppt
- 《第一课 发现我的优势》参考课件.pptx VIP
- 2024年广东粤电花都天然气热电有限公司招聘笔试参考题库附带答案详解.pdf
- 2023学年七年级语文第一学期测试卷(含答案).docx VIP
- 项目管理(西北工业)中国大学MOOC慕课 章节测验期末考试答案.docx
- 双惯量弹性伺服系统外部机械参数辨识综述.pdf VIP
- 专题11 勇担社会责任(解析版)三年(2022-2024)中考道德与法治真题分类汇编(全国通用).pdf
- 维克多3500单词检测版(教师内部资料) .docx VIP
- 2024年软件测试与质量保证试题参考.doc
文档评论(0)