概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理.doc

---- - 概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布： （1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为， 则称X服从处参数为p的两点分布。 两点分布的概率分布： 两点分布的期望：；两点分布的方差： （2）二项分布： 若一个随机变量X的概率分布由式 给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布： 二项分布的期望：；二项分布的方差： （3）泊松分布： 若一个随机变量X的概率分布为，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P () 泊松分布的概率分布： 泊松分布的期望：；泊松分布的方差： 4.连续型随机变量： 如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数，使得对于任意实数，有，则称X为连续型随机变量，称为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布： （1）均匀分布： 若连续型随机变量X的概率密度为，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b) 均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：；均匀分布的方差： （2）指数分布： 若连续型随机变量X的概率密度为，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e () 指数分布的概率密度： 指数分布的期望：；指数分布的方差： （3）正态分布： 若连续型随机变量X的概率密度为 则称X服从参数为和的正态分布，记为X~N(,) 正态分布的概率密度： 正态分布的期望：；正态分布的方差： （4）标准正态分布：， 标准正态分布表的使用： （1） （2） （3）故 定理1： 设X~N(,),则 6.随机变量的分布函数： 设X是一个随机变量，称为X的分布函数。 分布函数的重要性质： 7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 （1）由X的概率分布导出Y的概率分布步骤： ①根据X写出Y的所有可能取值； ②对Y的每一个可能取值确定相应的概率取值； ③常用表格的形式把Y的概率分布写出 （2）由X的概率密度函数（分布函数）求Y的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X的概率密度函数随机变量函数Y=g(X)的分布函数 ②由求导可得Y的概率密度函数 （3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X具有概率密度，又设y=g(x)处处可导且恒有（或恒有），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为 ；其中是y=g(x)的反函数，且 练习题： 2.4 第7、13、14 总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19 第三章重要知识点： 1.离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表： Y X … … … … … … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … … 1 （1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似 P63 例2 （2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据； 类似 P71 例3 （3）要会根据联合概率分布表求形如的概率； （4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。 2. 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度: 设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数（x,y），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限； 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如等联合概率值;P64 例3 要会根据联合概率密度求出的边缘密度;类似 P64 例4 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。 3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质： （1）；（2） 要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。 4.常用的连续型二维随机变量分布 二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率密度函数，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。 5.独立性的判断： 定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为，，若对任意实数x,y，有 （1）离散型随机变量的独立性： ①由独立性的定义进行判断； ②所有可能取值，有，则X与Y相互独立。 （2）连续型随机变量的独立性： ①由独立性的定义进行判断； ②联合概率密度 ，边缘密度， 有几乎处处成立, 则X 与Y相互独立。 (3)注意与第四章知识的结合 X与Y相