概率论期末复习.doc

PAGE 　　　 　　　 PAGE 28　 　 概率论复习知识　 概率论的基本概念　　　 频率与概率　 频率的概念：设在n次重复试验中，事件Ａ出现了次，则称为事件A在n次试验中出现的频数，比值为事件Ａ在n次试验中出现的频率，记为，即=　　 性质：　 设是两两互斥事件，则P（）=P（）+P（）+``````+P（）　　　 概率的概念：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数P(A)，称之为事件A的概率　　　 性质：　　 设是两两互斥事件，则P（）=P（）+P（）+``````+P（）　　　 将15名新生随机的平均的分配到三个班级去，这15名新生中有3名是优秀生。求　　　 求每一个班级个分配到一个优秀生的概率；　　 3名优秀生分配到一个班级的概率；　 解：15名新生平均分配到三个班级的分法总数为：　 　　　 （1）：每个班级各分配到一个优秀生的分法为　　　 3！　 于是所求概率为　　　 三名优秀生分配到同一个班级的分法为；　　 3·　　 于是所求概率为 　　 条件概率　　 条件概率的定义　 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称　 P（A|B）=　 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率　 2,条件概率的性质　　　 条件概率P（A|B）具备概率定义的三个条件　 （1）,非负性：对于任意的事件B，P（A|B）0　 （2）规范性：P（S|A）=1　　　 （3）可列可加性：设是两两互斥事件，侧有　　　 　　　 例1，设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？　 解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}　　 所求为 P(B|A) .　　　 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4　 P(B|A) .=　 例2，某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?　　　 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，　 则表示“抽查的人不患癌症”　　　 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995,　 P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04　 求 P(C|A).　　 由贝叶斯公式，可得 　　 P(C|A)=　　 代入数据计算得 P(C｜A)= 0.1066 　　 例3在数字通讯中，由于随机干扰，当发出信号“0”时，收到信号“0”，“不清”，“1”的概率分别是0.7,0.2和0.1；当发信号“1”时，收到信号为“1”，“不清”和“0”的概率分别是0.9,0.1和0，如果整个发报过程中“0”和“1”出现的概率分别是0.6和0.4，当收到“不清”时，试推测原发信号是什么？　　　 解 设Ｂ＝｛发出信号“0”｝，则＝｛发出信号“１”｝　 　　　A={收到信号“不清”}　 则B与为={收到信号“0”或“１”}的一划分　　 故受到信号为“不清”而原发信号为“0”的概率为：　 P(B|A) .= ==0.75　 而受到信号为“不清”而原发信号为“1”的概率为　 1—Ｐ（Ｂ｜A）=1—0.75=0.25　　　 因此，可以推测原发信号很可能（确切的说有75%的可能）是“0”　 例4要验收一批（100件）乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被人为音色不纯，侧这批乐器就别拒绝接受。设一件音色不纯的乐器测试查出其为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试别误认为不纯的概率为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的。试问这批乐器被接受的概率是多少？　　 解　 　　　 则　　　 P（A）=　 　 其中　 　 　 　　　 　　 Ｐ（Ａ）　　 　　 　　 ＝０．８６２９　　 例５商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？　 解 设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.　　　 B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品　　　 已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1　　 　　　 由Bayes 公式:　 　　　 　　　 随机变量及其分布　 离散型随机变量及其分布　　 三种常见分布　 1、（0-1）分布：（也称两点分布）　　 随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：　 　　　 　 2.二项分布(p32)　　 以X表示n重伯努利分布事件A发生