成都理工大学：微积分习题库及答案.doc

PAGE PAGE 84 习题1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）；（5） 2．求函数 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数和是否相同？ （1）； （2）； （3）； （4）。 4．设证明： 5．设且，试确定的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1） （2）； （3）； （4）； （5） （6）。 7．设为定义在上的任意函数，证明： （1） 偶函数； （2）为奇函数。 8．证明：定义在上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设 定义在上的奇函数，若在上单增，证明：在上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1） （2）； （3）； （4）； （5） （6）。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1） （2）； （3）； （4） （5） （6）。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1） （2）； （3） （4）。 13．求下列函数的反函数： （1）； （2）； （3）。 习题1—3 1．利用数列极限定义证明：如果，则，并举例说明反之不然。 习题1—4 1．设 （1）作函数的图形； （2）根据图形求极限与； （3）当时，有极限吗？ 2．求下列函数极限： （1）； （2）； （3）。 3．下列极限是否存在？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 习题1—5 求下列极限 1．； 2. ； 3. ； 4．； 5. ； 6. 。 习题1—6 1．求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）。 2．利用极限存在准则证明： （1）； （2）数列，…的极限存在； （3）。 习题1—7 1．当无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？ （1）； （2）； （3）； （4）。 2．已知函数 （1）当时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （3）“是无穷小”，这种说法确切吗？ 3．函数在是是否有界？又当地，这个函数是否为无穷大？为什么？ 4．求下列极限 （1）； （2）； （3） ； （4）； （5）； （6）； 5．求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 6．下列各题的做法是否正确？为什么？ （1） （2） （3）。 7．证明：当时，，。 8．利用等价无穷小的性质，求下极限： （1）； （2）； （3）（为正整数）；（4）。 9．当时，是是多少阶无穷小？ 10．当时，是是多少阶无穷小？ 11．当时，是是多少阶无穷小？ 习题1—8 1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）； （2）； （3）； （4）。 2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。 （1）； （2）； （3）。 3．为何值时函数在[0，2]上连续？ 4．讨论函数的连续性，若有间断点，判断共类型。 习题1—9 1．设连续，证明也是连续的。 2．若在上连续，且在上恒为正，证明：在上迹连续。 3．求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11） （12）。 习题1—10 1．证明：方程在区间（1，2）上至少有一个根。 2．设在闭区间[a，b]上连续，是[a，b]内的个点，证明：，使得 习题2—1 1．用导数定义求下列函数的导数： （1） （是常数）； （2）； （3）。 2．下列各题中假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出表示什么？ （1）； （2），其中，； （3）。 3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）。 4．已知函数，求。 5．已知函数，求。 6．自由落体运动（g=9.8米/秒2）。 （1）求在从秒到（）秒时间区间内运动的平均速度，设秒，秒，0.001秒； （2）求落体在5秒末的瞬时速度； （3）求落体在任意时刻的瞬时速度。 7．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。 8．设函数为了使函数在处连续可导，，应取什么值？ 9．求曲线在及处的切线斜率。 10．求曲线上取横坐标为及的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 12．证明函数数在处连续，但不可导。 13．函数在处的导数是否存在，为什么？ 14．讨论下列函