差分方程建模习题报告.doc

差分方程建模习题报告 习题一：养老保险 1.提出问题：某保险公司的资料指出，客户每月缴费200元至59岁年底，60岁开始领取养老金，现有某客户从25岁开始投保，届时月养老金2282元，假定人的寿命为75岁，试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？ 2.模型假设： （1）假定投保人所得完全由其所交保金及利息产生。 (2)假设投保时采取月供的方式。 3.问题分析： 每月至少应有多少投资收益率？实际上也就是投保人的实际收益率（显然其结果依赖于投保人的寿命）。 4．模型的建立与求解： 设投保人在投保后第k个月所交保金及利息的总额为，则得到数学模型分段表示的差分方程： （1） 其中，：表示60岁前每月所交保险费的数目（元）； ：表示60岁起每月所领保险费的数目（元）； ：表示所交保金获得的月利率； ：表示从投保起至停交保险费的时间（月）； ：表示从投保起至停领养老金的时间（月）。 则可推出差分方程的解（已知） （2） 由方程组（2）得： 由于，可以得到方程： 化简得： 令，得 由题设可知：。则代入数据得 利用MATLAB软件程序： x=solve(x^600-12.41*(x^180)+11.41=0,x) x=vpa(x,5) 求得所以投资收益率。 5.模型分析与推广： 养老金一般对起保年龄不作太多限制，投保到达停止交保费的年龄为止。因此起保年龄越大，每月投保的金额越多。在日常生活中保险公司往往会提供多种方式的养老金计划让投保人选择，在计划中详细的列出保金和养老金的数额。站在客户的角度，最需要解决的问题是应当如何选择最适合自己的养老计划，即保证选择所交保金获利对应最大的养老金。 习题三：疾病问题 1.提出问题：设在一个小城里，每天有50%的病人康复，有10%的健康人患病，建立以来表示的矩阵模型，这里和分别表示第n天时健康和患者的人数。如果一开始在星期一时有5000个健康人和500名患者，到星期五时这些人数有什么变化？长此下去的结果是什么? 2.模型假设： （1）假定该城的总人数保持不变，且初始条件下该城健康人和患者的数量分别为。 （2）和分别表示第n天时健康和患者的人数，记。 （3）假设在星期一时有5000个健康人和500名患者，可得下表: 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 … 健康人数（） 5000 4750 4650 4610 4594 患者人数（） 500 750 850 890 906 3.问题分析： 如果一开始在星期一时有5000个健康人和500名患者，到星期五时这些人数有什么变化？长此下去的结果是什么?即求在该城此疾病的发展趋势。 4．模型的建立与求解： 根据题设给出的已知条件，利用数学归纳法可得到如下推导： … 则第n天该城健康人数与患者人数的变化取决于方程 所以，其中 由假设（1）已知，那么第n天的健康人数和患者人数的变化为。 易知 （3） 将代入上式得到： 其结果与利用递推公式所得出的结果一致，则（3）式正确。 由假设（3）中的表格可得下图： 通过观察上图，我们不难发现从星期一到星期五患者人数增多到906人，健康人数减少4594人。但是由图中的曲线可看出两条曲线的变化都逐渐趋于平缓。说明该城此疾病得到了有效控制，患者人数和健康人数均趋于稳定。 5.模型分析与推广：