高等数学 隐函数求导.pptVIP

第四节 一、隐函数的导数 例1. 求由方程 例2. 求椭圆 练习 设 例4. 求 说明: 求 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 又如, 二、由参数方程所确定的函数的导数 若上述参数方程中 例7. 设 例8. 设由方程 内容小结 1. 设 作业 思考题 2. 设 3. 设 * 目录 上页 下页 返回 结束 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 隐函数和参数方程求导 第二章 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 的方程) （隐函数的显化） 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 的一阶导数 确定的隐函数 求由方程 练习： 二阶导数 解: 方程两边对 x 求导， 得 隐函数求高阶导数 法1: 由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导 数的显式继续求导. 法2: 反复用隐函数的表达式直接求n阶导数. 例3 解 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 ① 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积 函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导 对数求导法 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 1) 对幂指函数 可用对数 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 求导法求导 : 的导数 . 解: 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 对 x 求导 两边取对数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 例5 解 例6 解 所求切线方程为 ? , 且 求 已知 解: 练习: 解: 注意 : 对谁求导? 求 确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 由方程 确定, 解: 方程两边对x 求导, 得 且 存在，求 思考与练习 解 解得 P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8 第五节 求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 求导 1. 设 , 求 解：方程组两边同时对 t 求导, 得