高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析.docVIP

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A=(-?, -5)?(5, +?), B=[-10, 3), 写出A?B, A?B, A\B及A\(A\B)的表达式. 解 A?B=(-?, 3)?(5, +?), A?B=[-10, -5), A\B=(-?, -10)?(5, +?), A\(A\B)=[-10, -5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A?B)C=AC ?BC . 证明 因为 x?(A?B)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC ? x?AC ?BC, 所以 (A?B)C=AC ?BC . 3. 设映射f : X ?Y, A?X, B?X . 证明 (1)f(A?B)=f(A)?f(B); (2)f(A?B)?f(A)?f(B). 证明 因为 y?f(A?B)??x?A?B, 使f(x)=y ?(因为x?A或x?B) y?f(A)或y?f(B) ? y?f(A)?f(B), 所以 f(A?B)=f(A)?f(B). (2)因为 y?f(A?B)??x?A?B, 使f(x)=y?(因为x?A且x?B) y?f(A)且y?f(B)? y? f(A)?f(B), 所以 f(A?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X?Y, 若存在一个映射g: Y?X, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个x?X, 有IX x=x; 对于每一个y?Y, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 证明 因为对于任意的y?Y, 有x=g(y)?X, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1?x2, 必有f(x1)?f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)?g[ f(x1)]=g[f(x2)] ? x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: Y?X, 因为对每个y?Y, 有g(y)=x?X, 且满足f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : X?Y, A?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A))=A . 证明 (1)因为x?A ? f(x)=y?f(A) ? f -1(y)=x?f -1(f(A)), 所以 f -1(f(A))?A. (2)由(1)知f -1(f(A))?A. 另一方面, 对于任意的x?f -1(f(A))?存在y?f(A), 使f -1(y)=x?f(x)=y . 因为y?f(A)且f是单射, 所以x?A. 这就证明了f -1(f(A))?A. 因此f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1); 解 由3x+2?0得. 函数的定义域为. (2); 解 由1-x2?0得x??1. 函数的定义域为(-?, -1)?(-1, 1)?(1, +?). (3); 解 由x?0且1-x2?0得函数的定义域D=[-1, 0)?(0, 1]. (4); 解 由4-x2?0得 |x|?2. 函数的定义域为(-2, 2). (5); 解 由x?0得函数的定义D=[0, +￥). (6) y=tan(x+1); 解 由(k=0, ?1, ?2, ? ? ?)得函数的定义域为(k=0, ?1, ?2, ? ? ?). (7) y=arcsin(x-3); 解 由|x-3|?1得函数的定义域D=[2, 4]. (8); 解 由3-x?0且x?0得函数的定义域D=(-￥, 0)è(0, 3). (9) y=ln(x+1); 解 由x+1?0得函数的定义域D=(-1, +￥). (10). 解 由x?0得函数的定义域D=(-￥, 0)è(0, +￥). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2)