高等数学课后习题答案第六章.docVIP

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： ; 解：由得代入方程得 故是方程的解. ; 解： 代入方程得 . 故是方程的解. ; 解： 代入方程得 . 故不是方程的解. 解： 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程两端对x求导： 得 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程两端对x求导： (*) 得. (*)式两端对x再求导得 将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当时，y=5.故C=-25 故所求曲线为： 解： 当x=0时，y=0故有. 又当x=0时，.故有. 故所求曲线为：. 5. 求下列各微分方程的通解： ; 解：分离变量,得 积分得 得 . 解：分离变量，得 积分得 得通解： ; 解：分离变量，得 积分得 得通解为 . ; 解：分离变量，得 积分得 得通解为 ; 解：分离变量，得 积分得 得通解为 ; 解： 积分得 得通解为 . ; 解：分离变量，得 积分得 即为通解. . 解：分离变量，得 积分得 得通解为： . 6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： ; 解：分离变量，得 积分得 . 以代入上式得 故方程特解为 . . 解：分离变量，得 积分得 将代入上式得 故所求特解为 . 7. 求下列齐次方程的通解： ; 解： 令 原方程变为 两端积分得 即通解为： ; 解： 令， 则 原方程变为 积分得 即方程通解为 解： 令， 则 原方程变为 即 积分得 故方程通解为 ; 解： 令, 则 原方程变为 即 积分得 以代替u，并整理得方程通解为 . ; 解： 令， 则 原方程变为 分离变量,得 积分得 以代替u，并整理得方程通解为到 解： 即 令， 则, 原方程可变为 即 分离变量，得 积分得 . 即 以代入上式，得 即方程通解为 . 8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解： ; 解： 令，则得 分离变量，得 积分得 即 得方程通解为 以x=0，y=1代入上式得c=1. 故所求特解为 . . 解：设， 则 原方程可变为 积分得 . 得方程通解为 以x=1，y=2代入上式得c=e2. 故所求特解为 . 9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解： 解：设，则原方程化为 令 代回并整理得 . 解： 作变量替换，令 原方程化为 令,则得 分离变量，得 积分得 即 代回并整理得 ; 解：作变量替换 则 原方程化为 代回并整理得 . 解：令则 原方程可化为 分离变量，得 积分得 故原方程通解为 10. 求下列线性微分方程的通解： ; 解：由通解公式 ； 解：方程可化为 由通解公式得 解： ; 解： . ; 解：方程可化为 解：方程可化为 11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解： ; 解： 以代入上式得， 故所求特解为 . . 解： 以x=1,y=0代入上式，得. 故所求特解为