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PAGE PAGE 2 武汉大学数学与统计学院 数学实验报告 实验名称 离散数据的曲线拟合（最小二乘法） 实验时间 2007年 12 月 姓名 王超 班级 类二班 学号 200631000100 成绩 一、实验目的 二、实验内容与步骤 三、实验程序 四、实验结果 五、实验结果的分析 六、实验出现的问题 一、实验目的： 用最小二乘法，在已知函数在点的函数值的情况下，求拟合多项式。同时培养学生编程与上机调试程序的能力 即构造m阶最小二乘多项式 拟合n个数据点 二、实验内容与步骤： 1、根据拟合的要求确定算法： 第一步:先选定一组函数r1(x), r2(x), …rm(x), mn,令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) （1） 其中a1,a2, …am为待定系数。 问题归结为，求a1,a2, …am使J(a1,a2, …am)最小。 第二步: 确定a1,a2, …am的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi) 与曲线y=f(x) 的距离δi 的平方和最小。 第三步：构造超定方程组F 第四步：超定方程组得求解：利用，求解可得系数矩阵A 2、根据算法编写MATLAB程序（见下）。 3、以函数生成的6个数据点（0.25,23.1）,（1.0,1.68）, （1.5,1.0）,（2.0,0.84）,（2.4,0.826）,（5.0,1.2576）为例，运行程序得到不同阶对应的曲线拟合产生的多项式函数。 三、实验程序： function function C=lploy(X,Y,m) n=length(X); B=zeros(1，m+1); F=zeros(n，m+1); for k=1:m+1; F(:,k)=X.^(k-1); end A=F*F; B=F*Y; C=A\B; C=flipud(C); 程序说明：1、X，Y分别表示包含的1*n的矩阵，m表示根据数据点所要拟合的多项式的次数()。 2、MATLAB函数flipud（X）表示把1*N矩阵元素逆序排列。在程序中通过使用该函数，使产生的序列为关于x的多项式的降幂排列的系数。 四、实验结果 X=[0.25 1 1.5 2 2.4 5];Y=[23.1 1.68 1 0.84 0.826 1.2576];C=lploy(X,Y,2) X=[0.25 1 1.5 2 2.4 5];Y=[23.1 1.68 1 0.84 0.826 1.2576];C=lploy(X,Y,2) C = 2.5532 -16.9620 22.9309 X=[0.25 1 1.5 2 2.4 5];Y=[23.1 1.68 1 0.84 0.826 1.2576];C=lploy(X,Y,3) C = -2.2955 19.5064 -46.5074 33.0372 X=[0.25 1 1.5 2 2.4 5];Y=[23.1 1.68 1 0.84 0.826 1.2576];C=lploy(X,Y,4) C = 1.6803 -17.1522 58.3927 -80.9324 39.9168 X=[0.25 1 1.5 2 2.4 5];Y=[23.1 1.68 1 0.84 0.826 1.2576];C=lploy(X,Y,5) C = -1.0853 13.0268 -57.5051 119.3596 -118.1395 46.0236 注：程序运行结果依次为根据数据点拟合产生的2—5次的关于x的多项式的系数的降幂排列。 五、实验结果的分析： 原函数图像以及拟合后不同阶的函数图像如下列图形所示： （见下页） 由以上图形观察可知： 1、不一定阶数越高，拟合的精度就越好。 2、对于非线性数据，有时使用多项式函数拟合，产生的误差可能很大。 3、在不同的区间，不同阶数的函数拟合的效果不同。所以有时分段使用多项式函数进行拟合，效果可能更好。如本题，在区间[0，1.5]，m=3的拟合效果最好，而在区间[1.5，2.5]，m=5的拟合效果最好。 4、通过以上图形，也可以看出函数插值与曲线拟合的异同。两者都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。一个要求通过所给的数据点，而另一个则要求使平方和最小。 m=4原函数图像 m=4 原函数图像 6