第四章方程求根迭代法(21-22).pptVIP

* 重庆大学数理学院 数 值 分 析 第十讲 主讲教师： 谭 宏 §4、3 牛顿法 1、公式的导出 利用同解变换将f(x)=0化为同解方程 从而得出的迭代格式 ，往往只是线性收敛。为得出超线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法。 设 xk是根 的近似值，则按泰勒公式 取前两项来近似代替 (称为f(x)的线性化)，得近似线性方程 设 ，令所得根的近似值为xk+1，得 （12） 这就是牛顿公式 相应的迭代函数为： （13） 牛顿法是一种逐步线性化方法，其基本思想是：将非 线性方程 的求根问题归结为计算一系列线性方程 牛顿法的几何意义如下图 x* x0 x1 x2 x y f(x) 故牛顿法也称为切线法 例： 用牛顿法求解方程 解： 设 则 迭代函数 故牛顿公式为 取 迭代结果如下： 可见，牛顿法比迭代法收敛速度快得多。 定理4： 牛顿法在f(x)=0的单根 附近为平方收敛。 证： 将 在根 处泰勒展开有： 则 因为 所以 即： 所以牛顿法在f(x)=0的单根 附近为平方收敛。 牛顿法的收敛性 定理3： 设f (x)在[a, b]上满足下列条件： （1）f (a) ? f (b) 0； （2）f’ (x) ? 0； （3）f? (x) 存在且不变号； （4）取x0? [a, b]，使得f? (x)?f (x0) 0 则由（2.3）确定的牛顿迭代序列{xk}收敛于f (x) 在[a, b]上的唯一根x*。 证： 由条件（1）知：方程在（a，b）内有根 由条件（2）知：f(x)在[a，b]上单调，故根唯一 由条件（1）-（3）知：f(x)只可能是下列情况之一 讨论第一种情况，其余的类似 由于f(x)单调增，且f(a)0，由条件（4）知 所以： 且对任意 比有 于是： 而： 所以： 即：只要 则迭代序列总满足： 又： 所以迭代序列为一个单调增且有上界 的序列，它比有 极限。 设极限为 则： 即： 所以： 牛顿法对初始值 的依赖性很强， *