瑞利法和里兹法研究报告_周靖丰_15213736.docx

PAGE8 / NUMPAGES8 结构动力学--瑞利法和里兹法研究报告 周靖丰 学号瑞利法和里兹法简介 弹性系统振动问题归结为对系统的刚度矩阵和质量矩阵的研究。然而，从微分方程出发，研究弹性体的振动，除了一些简单的情况以外，要精确求解往往是不可能的，而工程中遇到的实际结构总是比较复杂，因此近似解法占有很重要的地位。通过对截止模态的研究发现对低频率固有频率的研究具有重要的意义，这对工程实践具有重要意义。瑞利法和里兹法基于能量守恒原理，可以用来计算振动系统固有频率的的近似值。 推导过程和算例 多自由度系统 瑞利法 讨论自由度为n的保守系统。设系统做某阶主振动，则系统的动能和势能为： 设解的形式为：，带入到上式中，求出动能和势能的最大值为： ， A是振幅矩阵，根据保守系统机械能守恒原理，最大动能与最大势能应该相等，则有以下固有频率计算公式： R（A）称为瑞利商。根据模态的定义有： 任选一个列阵作为假设模态，这不是实际模态，但是总能表示为简正模态的线性组合： 其中，a为系数aj（j=1，2，…,n）组成的列阵。取，则有： 这样得到的瑞利商不是系统的任一阶固有频率的平方，但必介于系统的最高和最低的固有频率的平方和之间：，若恰当选择系数使假设模态接近，其中除以外的其他系数（jk）均为小量，令 带入到瑞利商中可以得到： 因此若假设模态与第K阶模态的差别为一阶小量，则瑞利商与第K阶固有频率平方的差别为二阶小量。从而证明瑞利商在系统的各阶真实模态（j=1,2，…,n）处取驻值。对于基频的特殊情形，令K=1，则由于（j=1,2,…，n）恒大于零，瑞利商在基频处取极小值。因此利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际频率的上限。计算中使用的假设模态愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。从物理意义上理解，假设模态相当于对实际系统增加了约束，使系统的刚度提高，因此基频随之提高。 算例1：用瑞利法求4自由度系统的基频。其中m m4=4m 解: 写出质量矩阵和刚度矩阵 M=m 20030 尝试用瑞利法求该振动系统的基频。 取模态为X1T= R 实际系统的基频为： ω 相对误差为： ω- 评论：应用瑞利法能够非常简便的求出固有频率，但是求解的精度低，以上的结果是通过多次的测试所得，倘若任取一模态求瑞利商，所得结果可能与真实的固有频率相差很大。因此瑞利法更多的仅仅只是碰运气的方法，我们没有足够的把握一次就得到比较精确的结果。 另外，瑞利法只能求一个频率，即基频，其原则就是尝试各种可能使得瑞利商的取值最小，但并不能得到系统更高阶的频率，于是就有了下面的改进方法瑞利法。 里兹法 里兹法为瑞利法的改进。用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几个频率和模态。里兹法基于瑞利法相同的原理，但将瑞利法使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合。其基本思路是：将无限自由度体系近似地用有限自由度体系来代替，应用势能原理求得代用体系的精确解，从而求得原体系的近似解。 里兹法的具体做法是：选择一组满足求解域位移边界条件的试函数作为实际问题的近似解。显然，近似解的精度与试函数的选择有关，如果精确解包含在试函数族中，由里兹法将得到精确解。 假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合。 令 其中为r个假设模态构成的矩阵，a为r个特定系统构成的列阵： 假设模态矩阵的各列也称作里兹基矢量。将带入到瑞利商中得到的固有频率记作，导出： 其中r阶方阵和定义为： 瑞利商在系统的真实模态处取驻值。因此可利用的驻值条件来确定待定系数 将上式代入到中运算后得到： 利用二次其次函数的特点，有： 其中，为r阶单位阵的第j列，将上式带入到，得到r个方程综合为： 于是问题又归结为矩阵的本征值问题。但与原来系统的本征值问题比较，矩阵的阶数r小于原系统的阶数n。因此里兹法实质上起着使坐标缩并的作用，缩并后的本征值问题计算与原系统类似，可导出r个固有频率和r个模态，此缩并后的模态同样具有正交性。由于满足瑞利商的驻值条件，用里兹法计算模态比用瑞利法更为合理，但毕竟不是真实的模态，所导出的固有频率仍然高于真实值。 算例2 依然使用前面的四自由度系统作为例子，写出质量矩阵和刚度矩阵 M=m 20030 此次任取两个模态： X 应用里兹法求固有频率 先写出K K 根据K 和 ω 我们可以看到，ω1的值更加接近基频，这是由于我们沿用了瑞利法的精确结果所导致的 然而，我们对于ω2的值所对应的固有频率并不清楚。这到底是第2阶的固有频率还是第三阶的固有频率？抑或是两者都不是？这个值究竟与哪个值比较接近？我们仅从计算结果无法得知。这是瑞利法的不足也是里兹法的 事实上，系统的固有频率如下： ω 我们尝试不利用瑞利法得出的精确结果，任意取三个向量进行测试，所取向量为： X