留数定理及其应用.ppt

O O O O O 例8 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点. 例2 计算 的值. 解：令 其中 在单位圆外。 又 在单位圆内 b1 b2 b3 y CR -R R O x b1 b2 b3 y CR -R R O x 例 3 例 4 解： b1 b2 b3 y CR -R R O x y q O p 1 例6 计算 的值. [解] 这里R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai, 四、实轴上有一阶极点的无穷积分 例7计算积分 的值. [解] 因为 是偶函数, 所以 为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路线. 由柯西积分定理, 有 Cr CR y x O -r r R -R 令x=-t, 则有 （Dirichlet积分，在研究阻尼振动中十分有用。） Cr CR y x O -r r R -R 因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限 下面将证明 由于 所以 Cr CR y x O -r r R -R j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|?2, 而 由于 在r充分小时, 五 物理学中常用的实积分 利用留数定理计算实变函数积分的四种典型方法要求被积函数满足一定的条件。实际中遇到的积分，被积函数又往往不满足所需条件。此时利用留数定理计算实积分的基本思想还是一样的： （1）选择一个辅助函数和一条闭合回路（增加路径上的积分要么证明为零，要么容易计算）； （2）定积分化为沿闭合回路的积分； （3）利用留数定理； （4）如遇奇点，可绕过奇点。 O -R R 数学物理方法 第四章 留数定理及其应用 本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数的积分值与函数的奇点的关系。 留数定理：复变函数的积分理论与级数理论相结合的产物。 已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公式及其推论。 第一节 留数定理 一、留数定理 b1 b2 b3 bn L1 L2 L3 Ln L b1 b2 b3 bn L1 L2 L3 Ln L b1 b2 b3 bn L1 L2 L3 Ln L 二、留数的计算方法 由公式3, 得 我们也可以用公式4来求留数: 这比用公式3要简单些. 例 7 解： 所以 原式= 例 6 解： z = 0为一级极点。 以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的，留数的概念可以推广到无穷远点的情形。 三、无穷远点的留数 四、关于留数和的定理 2.应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较难求的留数。 第二节 几种典型实积分的计算 留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定积分。原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。 把实变定积分联系于复变回路积分的思路： b1 b2 b3 y CR -R R O x 例：P84[例4.2.1] 例1 计算 的值. [解] 由于0p1, 被积函数的分母在0?q ? 2p内不为零, 因 而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此 数学物理方法