第四节 函数的调性与曲线的凹凸性.pptVIP

* 第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 函数的单调性 一、 函数单调性的判定法 归纳以上结论，可得 该定理的条件是充分条件而非必要条件；严格单增（或单减）时未必有 在（a,b）内点点成立 . 注： 例1 注意 导数为零的点称为驻点；驻点处单调性发生了变化 例2 导数不存在的点处单调性发生了变化 说明: 驻点和导数不存在的点成为函数单调性可能改变的点. 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 注意： 确定函数单调区间的步骤： 1.确定函数定义域； 2.求出驻点及导数不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域分成若干个区间； 3.列表判定各个子区间内 的符号，得单调性结论. 例3. 确定函数 的单调区间. 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 例4 函数单调性可以用来证明不等式 函数单调性可以用来判别方程根的情况 例5 因此 f(x) 在（0,+∞)内严格单增. 另外 二、曲线的凹凸性与拐点 观察以下曲线 各曲线有什么不同？ 弯曲方向不同 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 任意弧位于弦上方 任意弧位于弦下方 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 定理 证明略 例6 例7. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 例8 (例7). 例9. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例10. 证明 解：设 函数凹凸性可以用来证明不等式 *