第四节IRn的和向量关于基的坐标.pptVIP

第四节 IRn的基和向量关于基的坐标 * * 定义1 设IR?n 中的向量组A ：α?1?, α?2, …, α??n 线性无关，β是IR?n中任一向量， 则β,α?1?, α?2, …, α??n线性相关（因为这 是n＋1个n维向量，向量个数大于向量维数），于是根据第三章第二节定理2知道向量β可以用α?1?, α?2, …, α??n唯一线性表示 β＝k1α?1?+ k2 α?2 + … + k n α??n 。 我们称向量组A：α?1?, α?2, …, α??n为空间 IR?n的一组基(basis), 把数k1, k2, …, kn称为 向量β在基α?1?, α?2, …, α??n下的坐标 (coordinate)，记为βA＝（k1, k2, …, kn）。 例1 验证α?1?＝(1，0，0)′, α?2＝(1，1，0)′, α?3＝(1，1，1)′为IR3 的一组基并求向量α＝(5，3，5)′在这组基 下的坐标。 解 显然，向量组α?1?，α?2，α?3?组成的矩 阵的行列式为 1 0 0 1 1 0 ＝1≠ 0 1 1 1 因此这三个向量线性无关，所以它们构成 IR3的一组基。要求向量α在这组基下的坐 标，实际上就是求解关于x 1, x 2, x 3的 方程组α＝ x 1 α?1＋ x 2 α?2 ＋x 3 α?3。 即 容易求得x1＝2, x2 ＝－2, x3＝5，因此向量α在这组基下的坐标为（2? ， －2 ，5） 当然，对于同一向量β，若选定的基不同，则向量β的坐标一般而言也是不同的。 例如 e1＝(1, 0, 0)′, e2 ＝(0, 1, 0)′, e3＝(0, 0, 1)′是IR3的一组基 （我们通常称之为IR3的自然基） 定义2 设向量组A ：α?1?, α?2, -…, α??n和向量组B：β1，β??2，…，β??n分别为IR?n的两组基，则向量组B：β1，β??2，…，β??n可由向量组A ：α?1?, α?2, -…, α??n线性表示，即存在n ??2个常数c??i?j（i，j＝1，2，…，n）使得 若我们所论及的向量均为列向量，则上式写成矩阵的形式为 我们称矩阵C为从基A ：α?1?, α?2, -…, α??n 到基B：β1，β??2，…，β??n的过渡矩阵。 定理1 过渡矩阵是可逆矩阵 定理2 设向量α在两组基A ：α?1?, α?2, -…, α??n 和B：β1，β??2，…，β??n下的坐标分别为 x?＝ [x1, x2, …, x n]′ 和 y?＝[y1,y2,…,yn]′.从基A到 基B的过渡矩阵为C，即B＝AC，则 Cy＝x 或 y＝C－1x 。 定义1 设a＝(a1，a2，…，an)? - 和b＝(b1，b2， …，bn)? 是两个n维向量，规定a与b的内积为： (a ，b)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn ， 有时也记为a?·?b＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn。 从矩阵的角度，显然 (a ，b)＝ a???b ＝ b?a 。 向量内积具有下列性质： (a ，b)＝(?b，a)； (a?＋?b，c)＝(?a?，c)＋(?b，c)； (?k?a ，b)＝ k(a ，b)，其中 k 是任意实数； (a ，a)≥ 0 ，等号成立当且仅当a ＝ 0。 定义2 向量a的长度或模（length，modulus） 定义为 一般地，称长度等于1的向量为单位向量 定理1 （柯西－施瓦兹不等式，Cauchy-Schwarz 不等式） 向量的内积满足 定义3 规定向量a和b之间的夹角为 如果a，b的夹角等于π/2，则称向量a，b正交。 特别，规定零向量与任何向量正交。 定理2 向量a和b正交（或垂直）的充分必要条件 是（a，b）＝?0。 全体n维实向量构成的集合为n维欧基里得 （Euclid）空间，记为IR?n 定理3 IRn中的不含零向量的两两正交的向量组(称 为非零正交向量组)a1，a2，…，a?r是线性无关的。 定义4 设a1，a2，…，a?n是n个n维实向量，若 则称a1，a2，…，a?n是IR?n的一组标准正交基 施密特（Schmidt）正交化 给定向量组a1，a2，…，an线性无关， 则我们可以按照下述步骤将其标准正交化 第2n步： en＝en/|en| 第2n－1步： 令bn＝an－(an，e1)e1－ (an，e2)e2－……