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维普资讯 12 数 学 通 讯 2007年第 13期 椭圆内接三角形最大面积的初等求法探究 卢 琼 丁 磊 (武汉市黄陂区第一中学 ，湖北 430300) 中图分类号：O123．3 文献标识码：A 文章编号：0488—7395(2007)13—0012—03 探究性教学是教师创设一定的问题情 sinA +SinB+Sinc_2Sin c。s + 境，让学生 自主参与的学习过程．本文以椭圆 内接三角形最大面积的初等求法为 “探究主 sinc．又因为一号 号，因此，0 题”，以问题序列为 “探索主线”展开研究，在 探究过程中综合运用了函数的导数、不等式、 c。S ≤ 1，所 以 sinA+sinB+sinC 坐标变换等数学工具和手段，通过探索得到 2sin + sin(A + B)，当 且 仅 当 一 系列解法简洁、含意深刻的数学结论．整个 探究过程充满着数学的新、奇、趣、巧，充分地 ∞s =1，l!pA=B时，此不等式取到等 体现了数学问题探究是以基础知识交汇为起 号 ． 点，以思想方法交织为纽带，以思维能力交叉 为核心来培养能力的数学命题指向，充分地 令 =z(0‘z号)，记厂(z)= 反映了解析几何、平面几何、平面三角、平面 2sinx+sin2x，求函数f(x)的导数得 向量、立体几何和代数内容等数学主干知识 厂 (X)=2cosx+2cos2x=2cosx+ 的内在联系，解决问题的思想也较好地凸显 4cos：x一2=2(2cosx一1)(coax+1) 了以静制动的几何本质及坐标变换的精髓． 三角形由其边和角确定，三角形面积的 于是当z∈(0，号)时，∞sz1，得 表示形式多种多样，而圆内接三角形由于有 厂(z)0，即函数厂(z)在区间(0，号)上单 正弦定理的作用，它 的面积可 以表示为 2R sinAsinBsinC，于是，求圆内接三角形的 调递增；当z∈(号，号)时，Ocosz1，得 最大面积问题就可以转化为三角函数关系式 的最值问题． 厂(z)0，即函数厂(z)在区间(号，号)上单 问题探究 1 在三角形 C中，a，b，C 分别为三内角A，B，c的对边，那么当A= 调递减．所以，当z=号时，厂(z)一= ， B=C时，sinA+sinB+sinC的最大值为 l!p2sin n(A+B)≤ ， 3 丁 ’ 所以sinA+sinB+sinc≤颦，且当 探究分析：在三角形 ABC中，三 内角 A，B，C∈(0，7c)，且 A+B+C=7c，由于 收稿 日期 ：2007—01—13 作者简介：卢琼(1968一)，男，湖北黄陂人 ，武汉市黄陂区第一中学高级教师，学士 维普资讯 2007年第 13期 数 学 通 讯 13 fA +B 兀