积分中值定理推广、改进与应用.doc

内蒙古财经学院本科毕业论文 积分中值定理 —推广、改进与应用 作 者 付晓丹 系 别 专 业 年 级 学 号 指导教师 导师职称 统计与数学学院数学与应用数学 10级 102091111 乔节增 教授 内 容 提 要 本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下 几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理的改进以及积分 中值定理的应用。 我们讨论了积分第一屮值定理、积分第二屮值定理，而且还给出了这些定 理的详细证明过程。且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和 数学。我们将积分中值定理加以的推广和改进，由最初的在闭区间［G,?讨论函 数/（X）的积分屮值定理情形转换为在开区间（Q”）上讨论函数/（X）±的积分屮 值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。 对于应用，通过一些典型的例题说明如何应用积分中值定理解决问题。我 们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号, 比较积分大小，证明函数的单调性等简单的应用。 关键词：积分中值定理；推广；改进；应用 TOC \o 1-5 \h \z 一、 积分中值定理 4 （一） 积 HYPERLINK \l bookmark0 \o Current Document \h 分第二中值定理 4 （二） 积 HYPERLINK \l bookmark6 \o Current Document \h 分第二中值定理 4 HYPERLINK \l bookmark18 \o Current Document \h 二、 积分中值定理的推广 7 （一） 积 分第一中值定理的推广 7 （二） 积 分第二中值定理的推广 7 HYPERLINK \l bookmark26 \o Current Document \h 三、 积分中值定理的改进 8 （一） 积 分第一中值定理的改进 8 （二） 积 分第二中值定理的改进 10 四、 积分中值定理的应用 14 （一） 估 计积分值 14 （二） 求 函数平均值 15 （三） 求 含定积分的极限 16 （四） 确 定积分号 17 （五） 比 较积分大小 18 （六） 证 明函数的单调性 18 证 明不等式 19 判 断某点存在性命题 20 证 明定理 20 五、 结论 22 六、 参考文献 23 积分中值定理 ■推广、改进与应用 一、积分中值定理 (一)积分第一中值定理 定理 如果函数/在闭区间［⑦/?］上连续，则至少存在一个点［a.b\,使 f{x)dx = f?(b-a), (a^ b) J a 证 由于/在闭区间［a,b］±.连续，因此存在最大值M和最小值加.由 m /(x) M , xe ［a.b］, 使用积分不等式性质得到 dx M (b _ a), m ——!——f /(x) dx M . b-a J 再由连续函数的介值性，至少存在一点§0肚引，使得 /?二一f/M dx, b-a Ja 所以定理得证. (-) 定理 积分第二中值定理 设函数/在[G0]上可积. (i) 若函数g在[d,b]上减，且gU) 0,则存在§w[d,b],使得下式 f/(x)g⑴ 必二g(a)『/(x) dx； (l—l) (li)若函数g在[d,S上增，且g(x) no,则存在?]E [a.b],使得下式 『/(x)g(x) dx = g(“)『/(x) dx. (1—2) 证 (i)设 xg [a,b\. 由于/在[a,切上可积，因此F在[a,?上连续，从而存在最大值M和最小值加. 若g⑷=0,由假设g(x)三0, xg [a,b]f jit时对任何[a,b]9 (1—1)式恒 成立?下面设g⑷0,这是(1-1)式即为 F? = ￡ F? = ￡ = 土 ￡ /⑴ gM dx (1—lz ) 所以问题转化为只需证明 (1—3) (1—3) 因为由此可借助f的介值性立刻证得(i-r)?当然(1-3)式乂等同于 m ^(a) ￡/(x)^(x) dxM g(a), (1—3’ ) 接下来证明这个不等式. 由条件/有界，设|/(x)| L, “肚引；而g必为可积，从而对任给的 ￡0, 必有分割 丁： a = x()xlx2?-xn=b f 使 现把1= [hf(x)g(x)力按积分区间可加性写成 Ja /=5L/W 能)心 乞『［g（x）-g（G）］/（兀）必+ $gC\_］）『fMdx i=\ v, z=i m 二厶+△ 对于人，必有 srInly sr I n ly 对于厶，由于 对于厶，由于F（x（））= F（a） =0,和 fM dx =『/（x） dx 一 f * /（x） dx J（i Ja 可得 厶二工g（G ）［尸（羽）-尸