研究生数理统计课件第3章参数估计2.pptVIP

⑵ 未知 所以 的置信水平为1-α的置信区间为 因： ⒉方差比 的置信区间 所以 的置信水平为1-α的置信区间为 因： 故： 练习题 1.设总体X的概率密度为 X1,X2,…,Xn为X的样本。 （1）求参数θ的矩估计量和最大似然估计量； （2）判断θ的最大似然估计量是否是θ的无偏估计； （3）判断θ的最大似然估计量是否是θ的一致估计。 2.设总体X在[θ-1/2, θ+1/2]上服从均匀分布， X1,X2,…,Xn为X的样本，记 证明 都是参数θ的无偏估计量。 3.设总体X的概率密度为 X1,X2,…,Xn为X的样本。 （1）求参数θ的最大似然估计量； （2）判断θ的最大似然估计量是否是θ的无偏估计； 常用的估计量评价标准： 1．无偏性 2．有效性 3．一致性 §3.4 估计的优良性的评价标准 对同一个参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，采用哪一个估计量好呢? 而它的期望值等于未知参数的真值. . 真值 1．无偏性 估计量是随机变量， 对于不同的样本值会得到不同的 估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动， ——这就导致无偏性这个标准 . 定义1 设 是未知参数θ的估计量, 存在，且有: 则称 为θ的无偏估计量。 则称 是 的渐近无偏估计量. 例 设总体X的数学期望为μ方差为σ2 ， 是X的样本，求证 均为μ的无偏估计量。 为σ2 的无偏估计量。 为σ2 的无偏估计量。 证明： 证： 例1 可见：一个未知参数可以有不同的无偏估计量。 例2 设 是总体 的样本. 使 为 的无偏估计量。 求 故当 时, 解： 的大小来决定二者谁更优。 和 一个参数的无偏估计量往往不止一个,若 和 都是参数 的无偏估计量， 我们通过可以比较 由于 二、有效性 定义2 设 都是参数θ的无偏估计量，若有 则称 有效。 例3 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本, ⑴ 验证 都是 的无偏估计. ⑵ 问那个估计量最有效? 解 ⑴ 由于 都是总体均值 的无偏估计量; 故 ⑵ 因为 所以 更有效 定义3 设 则称 的一致估计量。 为参数θ的估计量， 三、一致性 定理 设 是θ的估计量，如果 存在，且 q ? 则 是θ的一致估计量。 q ? 例4 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本, 证明样本均值是总体均值的一致估计量。 例5 设 X1, X2, …, Xn 是总体 X~U（0，θ） 的一个样本, 证明Y=max{X1, X2, …, Xn}是θ的一致估计量。 估计湖中鱼数的问题，若根据一个实际样本，得到鱼数 N 的最大似然估计值为1000条。 Question: 这个数是湖中鱼数的真值吗？ 湖中鱼数的真值 [ ] =希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含参数的真值. §3.5 区 间 估 计 定义 设θ是总体X的一个未知参数，X1,X2,…, Xn 为X的样本，若对于事先给定的一个数α，0α1,存在两个统计量 使得 则称 是一个随机区间； 给出该区间含真值θ的概率； 注意： α表示该区间不包含真值θ的概率。 为θ的置信区间，1－α为置信水平。 通常, 采用95%置信水平, 有时也取99% 或 90%. 即置信水平为 这时重复 抽样 100次, 则在得到的100个区间中包含 真值 的有95个左右, 不包含 真值的有5个左右。 例 若 具体算法 ⑴ 由样本X1,X2,…, Xn寻找一个样本函数 其中θ是待估的未知参数 ⑵ 对于给定的置信水平1－α，找 a , b , 使得 (3) 解不等式 由此可得θ的置信水平为1－α的置信区间 3.5.1 单个正态总体参数的区间估计 设X1,X2,…,Xn为总体N(μ,σ2)的一个样本，在置信水平1－α下，确定μ和σ2的置信区间。 设已知方差 ⑴ 已知方差 ，估计均值 μ 由于： 对于给定的 有 可得 所以μ的置信水平为1-α的置信区间为： 简记为 注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。 上例中同样给定 ,可以取标准正态分 布上α分位点-Z0.04和Z0.01，则也有 则μ的置信度为0.95的置信区间为 像 N(0,1)分布那样概率密度 的图形是单峰且对称的情况。 当n固定时, 以 的区间长度为最短， 记L为区间长度，则 可见L随 n 的增大而减少（α 给定）. 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼 儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120 131, 115, 109, 115, 115,