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2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 第3章 一元函数积分学及其应用 第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程 6.1、几个基本概念 6.3 一阶线形微分方程 6.4 变量代换法 解 例 2 解 代入原方程 原方程的通解为 3 其他的变量替换法举例 通解为 解 EX 3. 1 1 解 代入原方程 原方程的通解 解 分离变量法得 所求通解为 3. 解 ( h, k 为待 例5 求解可化为齐次方程的方程 作变换 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 求出其通解后, 即得 原方程的通解. 原方程可化为 令 (可分离变量方程) 解 代入原方程得 例 方程变为 分离变量, 得 得原方程的通解 6.5 可降阶的高阶方程 1、 型 降阶 n阶降到n-1阶 2、 型 3、 型 型 代入原方程, 得 解法： 特点： P(x)的(n-k)阶方程 可得通解. 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原方程通解为 例 1 型 求得其解为 原方程通解为 特点： 解法： 解 代入原方程得 原方程通解为 例 2 6.6、微分方程应用举例 应用微分方程解决实际问题的基本步骤： （1） 分析问题，建立起实际问题的数学 ?????? 模型—常微分方程（组） （2） 求解与分析这一数学模型，即求出 相应的常微分方程（组）的解，或 是精确解或近似解，其中还包括分 析解的特性 （3） 用所得的数学结果（解的形式和数 值定性分析等）回过头去解决实际 问题，从而预测某些自然现象甚至 社会现象中的特定性质，以便达到 能动地改变世界解决实际问题的目的。 1. 根据规律列方程， 2. 微分分析法（微元法）， 3. 模拟近似法。 基本方法 例1 解 衰变规律 例2 解 流量系数 孔口截面面积 例3 解 重力加速度 * — 积分问题 — 微分方程问题 推广 第6节 几类简单的微分方程 本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分 方程及其应用.ch7章对微分方程的理论及其求解将进 行较为系统的介绍 第6节 几类简单的微分方程 6.1 几个基本概念 6.2 可分离变量的微分方程 6.3 一阶线性微分方程 6.4 变量代换法 6.5 可降阶的高阶方程 6.6 应用举例 解 解 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2: 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 分类3: 线性与非线性微分方程. 分类4: 单个微分方程与微分方程组. 如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为 整体的一次幂,则称它为线性微分方程. 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解 所求特解为 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 6.2 可分离变量的微分方程 定义 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解. 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 例4 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 例5 解 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程