信号处理与系统分析第11章数字滤波器.pptVIP

第十一章 数字滤波器 本章介绍数字滤波器的原理及其设计。 数字滤波器的设计是数字系统综合的问题之一。所谓数字系统的综合(synthesis)就是给出设计指标的情况下，设计一个系统使之满足设计指标。 有一类数字系统的综合很具有代表性，那就是给出一个频率滤波的指标，要求设计一个离散时间LTI系统使之满足设计要求，这样的系统称为数字滤波器(digital filter)。 当然，数字系统可能是多输入和多输出的，本书我们只讨论单输入、单输出的情况。 在这里，我们要讨论的数字滤波器局限于一个离散时间LTI系统，它能够实现或者近似实现给定的频率响应。 用方框图来表述离散时间系统在理论上不够严谨，不利于从网络结构的角度进行更加深入的理论探讨，也不够简化。信号流图是表示离散时间系统的更好的方式。 图(graph)由支路和节点组成，每条支路连接两个节点。 11.2 无限冲激响应滤波器 所谓无限冲激响应(IIR Infinite Impulse Response)滤波器就是单位冲激响应为无限长序列的滤波器。 IIR滤波器是一种递归滤波器(Recursive Filter)，这是因为IIR滤波器里面有递归环节，从(11-1)公式可以看到这一点。 11.2.2 级联形式 在直接形式中，参数都有可能是复数，这种情况在软件实现时问题不大，但是，在硬件实现的时候，就不可实现。 我们知道，当LTI系统的单位冲激响应为实信号时，z变换的零点和极点是共轭成对出现的。 我们利用这一点，构造出参数为实数的系统结构 。 11.2.3 转置形式 对于单输入单输出的信号流图，梅森(Mason)证明：将流图的所有支路方向都颠倒，将输入输出的位置调换一下，则转置的流图和原流图有相同的系统函数。 下面就是将直接形式进行转置而形成的转置形式。 我们看到在数字网络里面，一个系统可以由不同的网络结构来实现。在工程上，应该选择量化误差较小的网络结构来实现我们的设计。 11.3 有限冲激响应滤波器 所谓有限冲激响应(FIR Finite Impulse Response)滤波器是指单位冲激响应为有限长序列的滤波器。 考虑因果系统： 我们说，有限冲激响应滤波器是非递归的（Non-recursive），因为计算y[n]不需要y[n-k]的信息。 非递归的结构反映在信号流图上，是一个前向图。所谓前向图(forward direction graph)就是说不存在一个有向的回路。 下面是前向图的例子： 11.3.1直接形式 直观地，可以看到下面的结构可以实现(11-22)所表示的FIR滤波器， 11.3.2 级联形式 利用11.2.2小节的分析，可以看到，当单位冲激响应为实信号时，z变换的零点是成对出现的。 11.4 从模拟滤波器到数字滤波器 在数字信号处理得到广泛应用之前，模拟滤波器的设计已经十分成熟了，有一些现成的设计模式可以套用。 也就是说，给出设计指标（一般是频率响应，或者是关于频率响应的关键点描述，例如截止频率等），就能求出系统的系统函数。 在模拟滤波器的研究方面，前人进行了大量的工作，积累了大量的成熟的研究成果。模拟网络综合研究的就是这方面的内容。 将模拟滤波器变换成数字滤波器的方法。这是一种比较合理的设计方法，因为模拟滤波器的成果比较多，所以利用模拟滤波器设计的数字滤波器比较可靠。 在本小节，我们的目的就是利用这些成熟的模拟滤波器的设计，来求出数字滤波器的设计。 11.4.1 冲激不变法(impulse invariance method) 我们知道，用离散时间系统来实现模拟信号处理的方式大致是： 如果模拟系统是稳定因果的，那么极点都在s平面的左半平面，经过上述映射，这些极点被映射到z平面的单位圆内部。 这就说明稳定因果的模拟系统对应的数字系统也是稳定因果的。 对于有理拉普拉斯变换的情况，我们有更加简单的形式，下面考虑一阶极点的情况， 11.4.2 双线性变换(bilinear transformation ) 设 A 为稳定因果的连续时间LTI系统的集合； 设 D 为稳定因果的离散时间LTI系统的集合。 11.5 用Matlab设计滤波器 11.5.1 近似滤波器 例题4.5可以看出，理想低通滤波器是非因果的，也就是说，在一维情况下，理想低通滤波器不可能以实时的方式实现。当然，离线的信号处理是很容易实现理想滤波的，比如，可以在FFT以后，进行理想滤波，再进反变换IFFT。 由于大量的电子系统是实时实现的，因此我们有必要讨论一下理想滤波器的近似实现。下图是模拟低通滤波器的近似形式（只画了频率0的部分）。 11.5.2 计算滤波器的阶数 上述的滤波器中，N是滤波器的阶数，N越大