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1.如图,平面直角坐标系中,ABCD 为长方形,其中点 A 、C 坐标分别为
(﹣4 ,2 )、(1,﹣4 ),且 AD ∥x 轴,交 y 轴于 M 点,AB 交 x 轴于 N.
(1)求B、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积;
(2 )一动点P 从A 出发,以 个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动,在P 点运动
过程中,连接MP、OP,请直接写出∠AMP 、∠MPO、∠PON 之间的数量关系;
3 )是否存在某一时刻t ,使三角形AMP 的面积等于长方形面积的 ?若存在,
(
求t 的值并求此时点P 的坐标;若不存在说明理由.
【分析】(1)利用点A 、C 的坐标和矩形的性质易得B (﹣4 ,﹣4 ),D (1,2 ),
然后根据矩形面积公式计算矩形ABCD 的面积;
(2 )分类讨论:当点P 在线段AN 上时,作 PQ∥AM ,如图,利用平行线的性
质易得∠QPM= ∠AMP ,∠QPO= ∠PON,则∠MPO=∠AMP+∠PON;当点P 在线
段NB 上时,同样方法可得∠MPO=∠AMP ﹣∠PON;
(3 ) t ,根据三角形面积公式得到S =t,
由于AM=4 ,AP= △AMP 再利用三角形AMP
的面积等于长方形面积的 可计算出 t=10 ,则AP=5 ,然后根据点的坐标的表示
第3 页(共7 页)
方法写出P 点坐标.
【解答】解:(1)∵点A 、C 坐标分别为(﹣4 ,2 )、(1,﹣4 ),
而四边形ABCD 为矩形,
∴B (﹣4 ,﹣4 ),D (1,2 );
矩形ABCD 的面积= (1+4 )× (2+4 )=30 ;
(2 )当点P 在线段AN 上时,作PQ∥AM ,如图,
∵AM ∥ON,
∴AM ∥PQ∥ON,
∴∠QPM= ∠AMP ,∠QPO= ∠PON,
∴∠QPM+∠QPO= ∠AMP+∠PON,
即∠MPO=∠AMP+∠PON;
当点P 在线段NB 上时,同样方法可得∠MPO=∠AMP ﹣∠PON;
(3 )存在.
∵AM=4 ,AP= t ,
∴S△AMP= ×4 × t=t ,
∵三角形AMP 的面积等于长方形面积的 ,
∴t=30 × =10,
∴AP= ×10=5,
∵AN=2 ,
∴P 点坐标为(﹣4 ,﹣3 ).
【点评】本题考查了坐标与图形性质:利用点的坐标计算相应线段的长和判断线
段与坐标轴的位置关系.也考查了三角形面积公式和矩形的性质.
第4 页(共7 页)
2.如图,在平面直角坐标系中,长方形 ABCD 的边 BC∥x 轴,如果 A 点坐标
是(﹣1,2 ),C 点坐标是(3,﹣2 ).
(1)直接写出B 点和D 点的坐标B ( ﹣1,﹣2 );D ( 3,2 ).
(2 )将这个长方形先向右平移1 个单位长度长度,再向下平移 个单位长度,
得到长方形A B C D ,请你写出平移后四个顶点的坐标;
1 1 1 1
(3 )如果Q 点以每秒 个单位长度的速度在长方形ABCD 的边上从A 出到到C
点停止,沿着A ﹣D ﹣C 的路径运动,那么当Q 点的运动时间分别是1 秒,4 秒
时,△BCQ 的面积各是多少?请你分别求出来.
【分析】(1)根据A 、C 两点的坐标以及矩形的性质,可得点A 与点B 关于x 轴
对称,点C 与点D 关于x 轴对称,进而可得答案;
(2 )根据横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减,可得答案;
(3 )根据三角形的面积公式,可得答案.
【解答】解:(1)根据题意可知,点A 与点B 关于x 轴对称,点C 与点D 关于x
轴对称,
所以点B 的坐标是(﹣1,﹣2 ),点D 的坐标是(3,2 ).
故答案为﹣1,﹣2 ;3,2 ;
(2 )按要求平移长方形后四个顶点的坐标分别是(0 , )、(0 ,﹣3 )、(4 ,
﹣3
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