差分方程模型的理论和方法.pdf

差分方程模型的理论和方法 青岛建筑工程学院 胡京爽 引言 1 、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规 律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立 差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量， 根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡 关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析 得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性 等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他 分析，得到原问题的解。 2 、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以 用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分 方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险 领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、 遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样 讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模 型来表现与分析求解。 3 、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过 程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段 引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变 化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相 隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量 进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并 且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者 对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当 的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而 建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常 重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易 于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪 1 些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程 或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运 算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析 的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点 体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一 般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合 起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建 立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的 结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析 等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、差分算子 设数列 ，定义差分算子 为x 在n 处的向 x : x x x n n n1 n n 前差分。 而 为 在n 处的向后差分。 x x x x n n n1 n 以后我们都是指向前差分。 可见x 是 的函数。从而可以进一步定义x 的差分： n n n 2