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第六章 线性经济模型简介 §§6.36.3 线性规划数学模型线性规划数学模型 线性规划LP(Liner Program)  线性规划是理论上比较成熟、在实际中应用非常广 泛的一个数学内容。 它所探讨的问题是在有限资源形成的一系列约束条 件下件下，，如何把有限的资源进行合理分配如何把有限的资源进行合理分配，，制订最优制订最优 的实施方案。  数学模型把现实问题转化为抽象的数学表达式。它 有助于我们认识问题的共性并寻找解决问题的途径有助于我们认识问题的共性并寻找解决问题的途径。。 线性规划研究的问题线性规划研究的问题 主要有两类主要有两类  第一类是对于一项确定的任务，如何统筹安排，才 能用最少的人力物力资源去完成能用最少的人力物力资源去完成。  第二类第二类是对于已有的人力物力资源是对于已有的人力物力资源，如何安排使用如何安排使用 它们，使得完成任务最多。 在实际中生活中，这类问题很多，如运输问题，生 产的组织与计划问题，合理下料问题，配料问题， 布局问题，时间和人员安排问题等。尽管问题各种 各样，但它们却有相同的数学模型。 案例案例66.1212 （（生产计划的问题生产计划的问题））某工厂在计划期内要某工厂在计划期内要 安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所 需的设备台时需的设备台时，AA、BB两种原材料的消耗以及每件产两种原材料的消耗以及每件产 品可获的利润如下表所示。问应如何安排生产计划 使该工厂获利最多使该工厂获利最多？？ Ⅰ Ⅱ 资源限量 设备 1 2 8(台时) 原材料A 4 0 16(kg) 原材料B 0 4 12(kg) 单位产品利润单位产品利润 22 33 （万元） 解解：设设XX 1 , XX 2 ((称为称为决策变量决策变量))分别表示在计划期内分别表示在计划期内 产品Ⅰ、Ⅱ的产量。由于资源的限制，所以有： 机器设备台时的限制条件：x +2x ≤8 1 2  原材料原材料AA 的限制条件的限制条件：： 4x4x ≤≤1616 （变量所满足 1 的条件） 原材料B的限制条件： 4x2≤12  同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有 xx ≥0≥0，xx ≥0≥0 （（称为变量的非负约束称为变量的非负约束）） 1 2 显然，在满足上述约束条件下的每一组变量的取值， 均能构成可行方案均能构成可行方案，称为称为可行解可行解。 而工厂的目标是在所有资源的约束条件下而工厂的目标是在所有资源的约束条件下，，如何确如何确 定产量 X 1 , X 2 以得到最大的利润，即使目标函数(利 润润)) 22XX 1 33XX 2 取得最大值取得最大值。。 综上，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示： max z 2x1 3x 2 （目标函数） xx1 22xx 2 88  4x 16 ss.tt .  1  4x 12