化动为静——动问题的分析与探讨.docVIP

化动为静——动问题的分析与探讨.doc

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PAGE 6 - 化“动”为“静” ——“转化”思想在动点的问题的应用探讨 动点问题,能够有效地全面地考查初中学生“四基”的掌握情况与核心素养的发展情况。从扎实的数学基础到灵活的数学思维和奔放的想象能力,再到逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等数学素养都有要求。高要求自然带来高难度,无论对教师的教还是学生的学,学会解决动点问题都需要下一番功夫。笔者在这方面作了比较多的尝试,获得了一些感悟,写成拙文,期待获得广大同仁的指导。 本文从分析具体的题目入手,探讨动点问题的基本结构;再从转化的思想出发,尝试探索一条相对简单易行的解题思路,令那些基本功较为扎实但思维能力稍有欠缺的同学能迅速找到分析问题的抓手,从而看到解决问题的希望。 对于转化思想,布鲁姆在《教学目标分类学》中描述得很清楚:数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。通常是将未知问题转化为已知问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题等——这就我们探讨的目的。 整个探讨的过程我们分三个阶段来完成。 首先,先观察一下近三年中山市中考的动点题目(为简洁起见,把题中一些与动点无关的小问题略掉了): 2015年第25题:如题25图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起,使斜边AC 完全重合,且顶点B,D分别在AC的两旁,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=30°,AB=BC=4cm (2)点M,N分别从A点,C点同时以每秒1cm的速度等速出发,且分别在AD,CB上沿A→D,C →B的方向运动,当N点运动 到B点时,M,N两点同时停止运动,连结MN,求当M,N点运动了x秒时,点N到AD的距离(用含x的式子表示); (3)在(2)的条件下,取DC中点P,连结MP,NP,设△PMN的面积为y(cm2),在整个运动过程中,△PMN的面积y存在最大值,请求出这个最大值. 2016年第25题:如图12,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP. (2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明; (3)在平移变换过程中,设y=,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值. 2017年第25题:如题25图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCD是矩形,点A、C的坐标分别是A(0,2)和C(,0),点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合),连结BD,作 QUOTE ,交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF. (2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由; (3)①求证: QUOTE ②设AD=x,矩形BDEF的面积为 QUOTE y,求y关于 QUOTE x函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值。 从题目看,不管设置的是什么背景图形,动点如何运动,题目大体上都由三大部分构成:一、背景图形(波浪线部分)——这部分的图形是不动的,它的线段、角度、形状、面积等都不变的,是“静”的部分。二、叠加在背景图形上的动点图形(红色下划线部分)——这部分的图形是变化的,一般都没有直观的图形可供参考,主要依靠学生的想象和分析能力来呈现。三、动点在特殊点形成的特殊图形(着重点部分)——这部分是题目的求解,主要是求解当动点运动到某个特殊的位置时出现的特殊图形或数值。从这三大部分可以提炼出题目的基本结构其实就是“三种图形”:设置背景图形,在背景图形上叠加动点图形,动点在某个特殊的位置形成特殊图形。 三图形中, 第一种“背景图形” 肯定是最简单的,难度基本相当于学生熟练的基础性题目。因为它“静止”不变,其中的数量、位置等关系等都比较明确,学生只需要从题目中即可找出。就算没给定,也只需要通过简单的运算也能求出,主要是这部分的问题大多数学生都能解决,是为解决整个问题所迈出的第一步。在第三种图形中,当动点处在某个特殊的位置时,会形成某些“特殊”的图形或得到某个“特殊”的数值,此时便可以利用满足特殊图形或数值的性质或定理来求解,从这一点出发,此时可以把图形看成是“静止”的图形来处理——这是以“静”制“动”。 相对来说, 第二种“动点图形”就要复杂多了,因为动点的运动,所以与它相关的各种数量一般都会发生变化,图形的形状大小等也在不停地变化之中,更要命的是学生能直观看到图形变化往往只是有限的一两种情形,其它的只能依靠想象了,这是整个分析过程中最难的地方。学生最头痛的是千头万绪,不知从何下手;一会觉得这样做行得通,一会觉得那样做最好,思维总在飘荡着无所凭借,学生此时最缺少的是一个可以发力的抓手。要解决这个问

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