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勒让德多式及性质
第三篇：特殊函数;
主要内容：
勒让德多项式（轴对称问题）及性质
连带勒让德函数（转动对称问题）
球函数（一般问题）
;在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程;同样若记 ;?;§2·1 勒让德多项式;一、勒让德方程的解： ;二、勒让德多项式;勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)
得到 ;2、勒让德多项式的微分表示 ;为;§2·2 勒让德多项式的性质;奇偶性：;一、勒让德多项式的正交关系; 代入;三、广义傅立叶级数;其中系数：
;例题一：以勒让德多项式为基本函数族，将函数;另一解法：;例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数;四、解方程：要选取对称轴为球坐标的极轴，; ;例题4：半径为;对定解问题解析延拓到整个球形区域 ;通解为：
;;例题5、在匀强电场中，放入一均匀介质球（原来不带电），
场强为
;1、设球内电势为：;比较系数得：
;3、衔??条件：①电势在球面上连续。
;比较系数得：
;解出：
;5、求场强：
球内场强：;;⑴球内电势：
;;;⑵球外电势：
;对于任一点：;母函数：
;2、应用;无导体球时：任一点电势为：
;对于定解问题：
;代入边界：
;比较系数得： ;按照母函数的定义：
;结论：导体球外的静电场，好像似存在一个点电荷，
叫原来那个点电荷的电像。 ;同理可得：;两边乘以：;
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