有限元 第9讲 动力学问题有限单元法.pptVIP

* * * 第3节 直接积分法 2.对于每一时间步长（t＝0， △t ，2 △t …） 计算时间t ＋ △t的有效载荷 求解时间t＋ △t的位移 如果需要，计算时间t的加速度和速度 * 第3节 直接积分法 关于Newmark法还需要着重指出一下几点： Newmark法是隐式算法。 关于Newmark法的稳定性。 证明，当δ≥0.50， α≥0.25(0.5+δ)2时，算法是无条件稳定的。 Newmark法适合于时程较长的的系统瞬态响应分析。 Newmark法的其它表达形式。 α和δ是按积分精度和稳定性要求决定的参数。 δ=1/2和α =1/4，平均常加速度法。 δ=1/2和α =1/6，线性加速度法。 δ=1/2和α =0，中心差分法。 * 第4节 振型叠加法 振型叠加法在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型 将方程转化为n个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数 值地进行积分。当采用数值方法时，对于每个方程可以采取各自 不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。 这两者结合起来相当于直接积分法时很大的优点，因此当实际分 析的时间历程较长，同时只需要少数较低阶振型的结果时，采用 振型叠加法将时十分有利的。 * 第4节 振型叠加法 一、求解系统的固有频率和固有振型 此计算步骤是求解不考虑阻尼影响的系统自由振动方程，即 它的解可以假设为以下形式 （4.1） 其中，φ是n阶向量，ω是向量φ的振动频率，t是时间变量，t0 是由初始条件确定的时间常数。 * 第4节 振型叠加法 解方程确定φ和ω。特征向量φ1， φ2，… φn代表系统的n个 固有振型。它们的幅度可按以下要求规定 这样规定的固有振型又称为正则振型，今后所用的固有振型，只 指这种正则振型。固有振型对于矩阵M是正交的。 在有限元分析中，特别是动力分析中，方程的阶数很高而求解 的特征解又相对较少的特征值问题，称为大型特征值问题。 （4.2） n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。 对应于 两边左乘 转置，然后右乘 相减 关于正则振型 表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。 Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。 可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。 对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。 因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。 以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即 根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质 主质量矩阵 主刚度矩阵 使Mr由对角阵变换为单位阵 将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即 这样得到的振型称为正则振型。 正则振型的正交关系是 第i阶正则振型 第i阶固有频率 以各阶正则振型为列，依次排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即 由正交性可导出正则矩阵两个性质 谱矩阵 在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力耦合又有静力耦合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现耦合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。 由前面的讨论可知，主振型矩阵U与正则振型矩阵 ，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。 * 第4节 振型叠加法 二、系统动力响应分析 1.位移基向量的变换 引入变换 （4.3） 此变化的意义是a(t)看成是φi(i=1,2,…n)的线性组合，φi可以看 成是广义的位移基向量，xi是广义的位移值。从数学上看，是将 位移向量a(t)从以有限元系统的结点位移为基向量的n维空间转换 到以φi为基向量的n维空间。 通常在实际分析中，需要求解的自由度方程数远小于系统的自 由度数n * 第4节 振型叠加法 2.求解单自由度系统振动方程