泰勒公式与极值问题.ppt

泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 二、二元函数的泰勒公式 三 极值问题 例8 求 在原点是否有极值。 例如 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 首页 × 若 例如, 定理17.10 (必要条件) 函数 存在偏导数, 证 取得极值 , 取得极值， 取得极值， 稳定点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 故 则称 ( x0 , y0 ) 为 f 的稳定点或驻点 . 所以 所以 首页 × 在原点 (0,0) 没有偏导数，但它在原点有极小值; 所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数 不存在的点取得. 首页 × 时, 具有极值 定理17.11 (充分条件) 的某邻域内具有二阶连续偏导数, 令 则: 1) 当 A0 时取极大值; A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 且 首页 × 证 由二元函数的泰勒公式, 并注意 则有 所以 首页 × 其中? , ? , ? 是当h →0 , k →0 时的无穷小量 , 于是 (1) 当 AC－B2 ＞0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号, 可见 , 从而△z＞0 , 因此 的正负号可由 确定。 首页 × 从而 △z＜0, (2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则 时, 有 异号; 同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 首页 × + + － 若 A＝C ＝0 , 则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A≠0, 则 若 A＝0 , 则 B＝0 , 为零或非零 首页 × 此时 因此 不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 . 首页 × 并求出偏导数不存在的点. 求出二阶偏导数的值： 首页 × 例 求函数 解 第一步 求稳定点 得稳定点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 故 f 在( 1, 0 ) 有极值, 又因 首页 × 在点(?3,0) 处 不是极值; 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 故 f 在( -3, 2 ) 有极值, 又因 首页 × 例 讨论函数 及 在点 ( 0,0 ) 是否取得极值. 解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 (0,0) 不是 因此 为极小值. 正 负 0 并且在 (0,0) 都有 可能为 的极值点. 首页 × 首页 × * * 首页 × 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导函数仍存在偏导数， 则称它们是 z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列 四个二阶偏导数: 首页 × 类似可以定义更高阶的偏导数. z = f (x , y) 的三阶偏导数共有八 ( 23 ) 种情形： 首页 × 又如 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 再关于 y 的一阶偏导数为 首页 × 例1 求函数 解 的二阶偏导数及 首页 × 注意 从上面两个例子看到，有 但这一结论并不总成立. 首页 × . arctan 2 的所有二阶偏导数 求函数 例 x y z = 例如 二者不等 首页 × 定理17.7 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明 本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关. 首页 × 例6 证明函数 证 利用对称性 , 有 满足拉普拉斯方程 首页 × 注意 多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分 方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧 与常用导数符号. 首页 × 得 首页 × . ) , ( 3 2 2 2 y x z x z y x x f z ? ? ? ? ? = ， ，求 设 例 首页 × 首页 ×