北师大版八年级（下册）数学第一章《证明(二)》知识点和习题.doc

... WORD格式整理 1等腰三角形 知识点1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)． 用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． 定理的证明： 取BC的中点D，连接AD． ∵∴△ABD≌△ACD(SSS)． ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． 定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等． 拓展 等腰三角形还具有其他性质． (1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°． (2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角． (3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则＜a． (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C． 知识点2 等腰三角形的性质定理的推论 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)． (1)用符号语言表示为：如图1－3所示， ①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC； ②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC； ③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC． (2)推论1的证明． ①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS)． ∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC． ②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)． ∴∠1＝∠2，BD＝CD． ③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD， ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC. (3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直. 推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°． (1)用符号语言表示为：如图1－4所示， 在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． (2)推论2的证明： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵AB＝BC，∴∠A＝∠C． ∴∠A＝∠B＝∠C． 又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 知识点3 等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)． 用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中， ∵∠B＝∠C，∴AB＝AC 判定定理的证明：如图1－6所示． 过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)， ∴AB＝AC． √判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等． 拓展 如图1－6所示，在△ABC中， (1)如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC； (2)如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC； (3)如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC． 知识点4 等腰三角形的判定定理的推论 推论1． (1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． (2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴AB＝AC＝BC． (3)推论1的证明： 在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． 又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝＝60° ∴AB＝AC＝BC． (或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．) √推论2． (1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形． (2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC． (3)推论2的证明： 在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)． 又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC． (4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形． 拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法： (1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等； (2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°； (3)根据推论2，证明三个角都相等． √推论3． (1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB． (3)推