暑假--数学--必修四--课时 12 角、弧度、三角函数.docxVIP

数 学 讲 义 坚果教育 主讲内容：课时 12 角、弧度、三角函数 日期： 讲义： 1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义； 2. 掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 3. 体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 二、重难点提示 重点：掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 难点：终边相同的角、第几象限角的表示。 1. 角的概念的推广： 一条射线由原来位置OA,绕着它的端点O点，可以向两个方向旋转：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转时，也看作一个角，叫零角。这样就形成了任意大小的角。 2. 记法与运算： （1）记法： 射线OA绕O点旋转到OB所成的角记作∠AOB； 射线OB绕O点旋转到OA所成的角记作∠BOA； （2）运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和： 射线OA绕点O旋转到OB，又从OB旋转到OC，得到∠AOC，这个过程可表示成角的运算：∠AOC=∠AOB+∠BOC。 3. 终边相同的角： 与终边相同的角的集合：。 4. 象限角： 角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，此时终边在第几象限，则称这个角是第几象限角。 【综合拓展】 当是第一象限角时，请在坐标系内画出所在的位置。 思路分析：根据是第几象限角，表示出的范围，进而求出的范围，再根据范围判断是第几象限角。 答案：以是第一象限角为例： 因为是第一象限角， 所以 所以 表示终边在蓝色射线上的角，逆时针旋转得到，即终边在红色射线上的角，则区域1、2、3即表示终边所在的位置，所以是第一或二或三象限角。 弧度制和弧度制与角度制的换算 一、考点突破 1. 理解1弧度的角、弧度制的定义； 2. 掌握角度与弧度的换算公式，并能熟练地进行角度与弧度的换算； 3. 熟记特殊角的弧度数。 二、重难点提示 重点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算。 难点：弧度的概念及其与角度的关系。 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad，读作弧度，这种用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制。 如下图，依次是1rad，2rad，αrad，1~6rad 探究： （1）平角、周角的弧度数，（平角=? rad、周角=2? rad）； （2）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0； （3）角?的弧度数的绝对值：（l为弧长，r为半径）。 2. 角度制与弧度制的换算： ∵360?=2? rad ∴180?=? rad ∴1? =， 3. 弧长公式和扇形面积公式 （1）弧长公式： 根据，可以得到（其中为弧所对的圆心角，r为圆的半径即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积）。 （2）扇形的面积公式： （其中l是扇形弧长，r是圆的半径）。 例题1 （1）把化成弧度；（2）把化成度。 思路分析：角度制化弧度制先化成角度，再化成弧度，弧度制化角度制将换成180°即可。 答案：解：（1）； （2）=×180°=108°。 例题2 已知扇形的周长是6cm，该扇形的圆心角是1弧度，求该扇形的面积。 思路分析：用弧长、半径表示周长及圆心角，列出弧长、半径的方程组，求出弧长、半径，再求面积。 答案：解：设扇形的半径为r，弧长为，则有 ∴扇形的面积。 【高频疑点】 1. 在具体运算时，“弧度”二字或单位符号“rad”可以省略，如3表示3rad，表示角的正弦，即。 2. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π 3. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数的集合之间，建立一种一一对应的关系。 任意角的集合 实数集R 三角函数的概念 一、考点突破 1. 理解并掌握任意角三角函数的定义； 2. 理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域。 二、重难点提示 重点：任意角三角函数的定义。 难点：正弦、余弦、正切函数的定义域。 三角函数的定义 1. 定义： 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离，那么 比值叫作的正弦，记作：； 比值叫作的余