静电场习题解答.doc

习题 2 2-1 两个点电荷q和-q分别位于+y轴和+x轴上距原点为a处，求： （1）z轴上任一点处电场强度的方向aE； （2）平面y = x上任一点的aE。 解：（1）源点坐标q（0，a，0）、-q（0，a，0），场点坐标（0，0，z） （2）位于平面y = x上任一点的场点坐标（x，x，z）,电场为 2-2 xy平面上半径为 a 圆心位于原点的半圆环关于 x 轴对称，且开口朝向+x轴。若半环上电荷线密度为?l，求位于原点的点电荷 q 所受到的作用力。 解： 2-3 卢瑟福在1911年采用的原子模型为：半径为ra的球体积中均匀分布着总电量为- ze的电子云，球心有一正电荷ze（z为原子序数， e是质子的电量），试证明他得到的原子内的电场和电位的表示式： 证明：球内的体电荷均匀分布，密度为 由高斯定律，取同心球面为高斯面，得 于是得球内任意点的电场强度为 球外的电场强度为零。 取无穷远处为电位参考点，则球内的电位分布为 2-4 如图题2-4所示的两个轴线平行的无限长圆柱面之间有体电荷密度为?f的电荷均匀分布，其余部分为空气，无电荷，。求空间各点的电场强度。 a a b O1 O2 c ?f x y 题2-4图 解：该电荷分布的电场可看做是体电荷密度为?f的大圆柱的电场和体电荷密度为-?f的小圆柱的电场的叠加，显然两种场分别具有轴对称性。大圆柱取高斯面为以O1为轴线的单位长度的闭合圆柱面，小圆柱取高斯面为以O2为轴线的单位长度的闭合圆柱面，则由高斯定律 大柱内： 大柱外： 小柱内： 小柱外： 由叠加定理，可得各部分空间的电场强度分别为 空腔内（）： 两柱之间（）： 大柱外（）： 2-5 计算在电场中把一个的电荷沿以下两种路径从点（2，1，-1）移到（8，2，-1）电场力所做的功： （1）沿曲线； （2）沿连接该两点的直线。 解： （1） （2）两点间直线方程为 2-6 大气中各点电场强度的经验分布为，z 为从当地的地平面算起的高度；所有的经验常数A、B、?、? 皆为正数。求大气中电荷密度的经验分布，并问它是正电荷还是负电荷？ 解：由高斯定律的微分形式，电荷密度为 因A、B、?、? 皆为正数，因此，是正电荷。 2-7 已知空间电场分布如下，求空间各点的电荷分布： （1） （2），， 解：（1） （2） 2-8 以下矢量场是不是静电场的一种可能的分布？若是，找出其电位?的函数式： （1） （2） （?、?为常数） 解：静电场是保守场，应满足 （1） 因此，E是可能的静电场分布。设电位参考点选在（x0，y0，z0） （2） 因此，E不是可能的静电场分布。 2-9 假设所讨论的空间无电荷，以下标量场是不是静电场的一种可能的电位分布？ （1） （2） （3）， （4） （y 0） 解：在无电荷的空间，静电场的电位应满足 （1） （2） （3） （4） 由以上计算结果可知，标量函数（1）、（2）、（3）是静电场的电位，（4）不是。 2-10 半径为 a 的永久极化介质球，球心在原点，均匀极化强度为P,平行于z 轴，球外为空气。求（1）介质球表面的束缚电荷密度；（2）z 轴上任一点由束缚电荷产生的电位和电场强度。 解：（1） （2）束缚面电荷产生的电位可直接由积分公式计算： 时， 时， zaa z a ar ? ? R ? ?0 z P z? z a ar ? ? R ? ?0 z P z? （a） (b) 题2.10图 2-11 均匀极化