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勇闖無窮大 梁子傑老師 香港道教聯合會青松中學 由「循環小數」談起 s = 0.3333333333333333333… … 數數雙數 這個世界上，雙數多一些，還是整數多一些呢？ 格點與整數的比較 格點與整數的比較 是否所有的「無窮大」都相等？ 實數與整數的比較 假如可將 0 與 1 之間的每個實數編號： 實數與整數的比較 假如可將 0 與 1 之間的每個實數編號： 實數與整數的比較 實數不可以被編號。 實數的數量比整數的數量為多！ 新思維的創造者 康托（Georg Cantor; 1845 ? 1918） 超窮數（Transfinite Numbers） 超窮數（Transfinite Numbers） 超窮數（Transfinite Numbers） 超窮數（Transfinite Numbers） 不幸的結局 可惜的是，康托的觀點未能被當時的數學家所認同。 康托的反對者： 不幸的結局 由於康托受不起別人的評擊，他的精神終於在 1884 年崩潰。 遲來的認同 踏入二十世紀，康托的理論終於獲得承認。 連續統假設 在 ?0 與 ?1 之間，不會再有超窮數。 連續統假設 在 ?0 與 ?1 之間，不會再有超窮數。 連續統假設 在 ?0 與 ?1 之間，不會再有超窮數。 完 請到訪以下網頁 教育資訊站　數學網http://www.edp.ust.hk/math/ 數學知識.tw/ History of Mathematicshttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/ 梁子傑網上文集.hk/ 龐加萊；Jules Henri Poincaré 克萊因；Felix Klein 克羅內克；Leopold Kronecker 克羅內克為康托的老師。由於他不接受康托的超窮集合論，所以他曾試圖阻止康托在柏林大學任教。 * ? 網上分享版 10s = 3.3333333333333333333… … 9s = 3 由此得 s = ?。 觀察以上的運算，可得到以下的結論： ? ? 1 = ? ? ? n = ? 或 ? = ? + 1 ? = ? + n 1 2 3 4 5 6 7 8 … 2 4 6 8 10 12 14 16 … ? ? ? ? ? ? ? ? 所有整數和所有雙數都一樣多！ ? ? 2 = ? ? ? ? = ? ? ? n = ? 結論 ? = 2 ? ? ? = ? + ? ? = n ? ? 或 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x y 1 ? (1 , 1) 2 ? (2 , 1) 3 ? (1 , 2) 4 ? (3 , 1) 5 ? (2 , 2) 6 ? (1 , 3) … ? … … 結論 格點數量 = 整數數量 ? ? ? = ? 1 2 3 4 5 6 … ? ? ? ? ? ? (1 , 1) (2 , 1) (1 , 2) (3 , 1) (2 , 2) (1 , 3) … ? ? ? ? ? ? 結論 分數數量 = 格點數量 = 整數數量 換句話說 整數和分數一樣多！ 同時，我們可以將每一個分數編號。 是否所有的「無窮大」都可以被編號？ b = 0. 2 0 5 0 6 1 … b 即 a1 = 0. 2 4 5 0 8 7 … a2 = 0. 3 0 7 7 6 2 … a3 = 0. 9 5 5 4 5 1 … a4 = 0. 1 0 7 0 7 8 … a5 = 0. 2 0 2 1 6 9 … a6 = 0. 8 9 3 3 2 1 … … = … … … … ? a1 = 0. 2 4 5 0 8 7 … a2 = 0. 3 0 7 7 6 2 … a3 = 0. 9 5 5 4 5 1 … a4 = 0. 1 0 7 0 7 8 … a5 = 0. 2 0 2 1 6 9 … a6 = 0. 8 9 3 3 2 1 … 凡雙數改 1、單數改 2 = 0. 1 ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 … b = 0. 2 0 5 0 6 1 … b 即 a1 = 0. 2 4 5 0 8 7 … a2 = 0. 3 0 7 7 6 2 … a3 = 0. 9 5 5 4 5 1 … a4 = 0. 1 0 7 0 7 8 … a5 = 0. 2 0 2 1 6 9 … a6 = 0. 8 9 3 3