常态分配TheNormalDistribution.DOC

第五章　　常態曲線 (The Normal Curve) 壹、本單元的目標 定義並說明常態曲線（the normal curve）的概念。 學習將資料原來得到的數值轉換成Z分數（z scores），以及運用Z 分數及常態曲線表（見Appendix A）來找出在曲線上某一點之上、之下或某兩點之間的面積。 以機率的方式來表達前述之面積。 貳、前言 　　常態曲線(The Normal Curve) 及常態分配的觀念，在統計中十分重要，它們是推論統計的基礎。 　　常態曲線及分配是一種理論模式，但透過這理論模式，配合平均數及標準差，我們可以對實證研究所得之資料分配，做相當精確之描述及推論。能做到這一點是因常態曲線本身有些重要且已知的特性。常態曲線最重要的特性是其形狀為左右對稱若鐘形之曲線。此曲線只有一個眾數，並與中位數及平均數是三合一的。其區線的兩尾是向兩端無限延伸。因此，雖然實際調查得到的資料，不可能是這種完美的理論模式，但許多實際得到之變項的資料分配是相當接近這種模式，因此可以假定它們的分配是常態的，進而使我們得以運用常態曲線的理論特性。 配合平均數及標準差之觀念，我們可以得到常態分配一個重要的特性：在常態曲線下，以平均數eq \x \to(X)為中心，任何一個在左邊的點與eq \x \to(X)之間在常態曲線下之面積是和另一相對在右邊同距離之點與eq \x \to(X)之間的面積相等。 　　常態分配另一非常重要特性是，任何點與eq \x \to(X)間在常態曲線下之面積是一定且已知的。見〈圖一〉 圖一、在常態曲線下之面積 從〈圖一〉可知在常態曲線下，平均數與標準差之間的所佔的面積比例是有一定的關係。您要熟記這個關係。如果一個變項的分配是接近常態曲線，那這個面積的比例也代表所佔的樣本比例。例如，如果全部樣本數是1000人，則平均數加減一個標準差（平均數 ± 1S）就有約683人（1000 × 68.26％）。所以，就常態分配而言，只有少數的樣本是在平均數加減三個標準差以外（也就是說只有極少數個案的分數是比平均數加三個標準差來的大，或比平均數減三個標準差來的小）。 參、標準化：求Z scores 　　在我們了解以上常態分配之特性後，可以進一步將實際之分配加以標準化成為標準常態分配（standard normal distribution）。這種分配之特性是其eq \x \to(X)= 0，S = 1。（※有兩點要注意：1、 實際分配應是接近常態分配，標準化才有意義。但如果實際分配不是接近常態分配時，常態分配之觀念仍然有用，容以後再述。2、常態分配如前所言是一種理論模式，也就是一種用來了解現實狀況的標準）。 　　資料標準化方法是將原來資料中的分數變成Z scores（Z 分數），一種標準常態分配之分數。原來的分數可以是任何單位測量到的，如「元」、「歲」或「分」。在轉變成Z分數後，這些單位就消失了，而原來的平均數會成為0，原來的標準差則成為1。例如，在經過智力測驗後，志明的IQ分數是120分，而此分數是比整個樣本的平均數多一個標準差，也就是10分。當整個樣本的IQ的分數轉換成Z分數後，整個樣本的平均數是0，而志明的IQ分數也就成了1。 轉換原始分數成為Z分數的公式為： 　　　　 由此公式可知，當Xi＝eq \x \to(X)時，Z＝0，也就是eq \x \to(X)在標準常態分配下的Z 分數等於0。此外，一個原來分數等於原來的eq \x \to(X)加上一個S時，經由公式(1)之轉換，即成Z＝1，即Xi＝eq \x \to(X)＋1S時， 　　　　 這也和剛才提及在標準常態分配中S = 1之說。同理可知，當一個原始分數轉成Z分數是1時，那此原始分數就是比平均數高一個標準差的分數。 　　標準化之觀念即將原來之分數化成一種標準分數，如同將英尺化成公尺般。如此一來，不同之樣本分配經標準化後就可比較。而原來的分數所構成的常態分配也就成了標準常態分配。當然，標準常態分配也有前述常態分配所有的特性，如下圖： 圖二、標準常態曲線下之面積 肆、常態曲線表 　　任何分數經標準化成Z分數後，此Z分數與eq \x \to(X)(＝0)之間在常態曲線下之面積，可利用書中Appendix A之常態曲線表查出。此表有三欄，其中一部分如下表： 利用此表，我們可知道： 1、任何Z分數和eq \x \to(X)之間的面積； 2、某Z分數以上或以下之面積（也就是找大於或小於Z分數之部分的面積）； 3、 兩個Z分數間之面積。 在常態曲線下，尋找某Z分數以上或以下之面積的方法，如下表： 表一、尋找某Z分數以上或以下之面積的方法（對照Appendix A） 當Z分數為 尋找面積 正 負 在Z分數以上（比Z分數大的部分） 看c欄 將b欄所呈現的面積加 .5000或