柯西积分公式与高阶导数公式.pptVIP

第三章 复变函数的积分 第3节 柯西积分公式 柯西积分公式 高阶导数公式 设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向) 绕z0的任一正向简单闭曲线, 则 设C为B内 B C 一、柯西积分公式 定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内部的任一点, 则 D C 证明: 由于f(z)在z0连续, D C CR z z0 R 且 Rd. 故任给e 0, 存在d 0, 当|z-z0|d 时, |f(z)-f(z0)|e. 在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向), =0 ——柯西积分公式 特别, 如C: |z-z0|=R, z=z0+Reiq, 则上式成为 说明: 1) 这里的D可为单连通域，也可为多连通域； 只要 f (z)在简单闭曲线C及其所围的区域内解析, 且z0在C的内部, 则 柯西积分公式也成立。 2) 柯西积分公式的含义 3) 柯西积分公式的应用: 可求积分 a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析, b) z0在C的内部. 要注意: 函数在C内部任一点的值可用它在边界上的值通过积分唯一确定。 例1：求下列积分(沿圆周正方向)的值: 例2：求 其中C为包含圆周|z|=1在内的任意正向简单闭曲线. 如果各阶导数存在, 并且导数运算可在积分号下 进行, 则 由 , 解析函数的积分表达式为 (1) 解析函数是否存在各阶导数? (2) 导数运算可否在积分号下进行? 高阶导数公式. 二、高阶导数公式 高阶导数公式 定理(高阶导数公式) 设函数f (z)在区域 D内解析, z0 在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线, 且C的内部全含于D, 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并且 说明: 1) 解析函数具有任意阶导数； 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 2) 确定。 说明: 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析, b) z0在C的内部. 要注意: 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 证明 首先考虑n=1的情形. 因为z0在C的内部, 故当 |?z| 适当小时, z0+ ?z也在C的内部. 所以应用 于是 可知 因为f (z)在C上解析, 所以在C上连续, 故有界. 于是存在M 0, 使得|f (z)|?M . 又因为z0 是C 内部区域内的点, 所以存在R 0, 使 在C的内部区域. 因此当z在C上时, 取 则 所以 其中L是曲线C的弧长. 利用类似的方法可求得 因此, 当 时, 从而 证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. 例1. 求积分 解 因为函数 在复平面解析, 在 内, n=3, 根据 例2. 求积分 解 因为函数 在复平面解析, 在 内, n=1, 根据 例3. 求积分 解. 函数 在C内的 处不解析. 在C内分别以i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2, 由 其中C是正向圆周 于是 同理 柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 C为 B内任何一条闭曲线。 Morera定理 设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任 何一条简单闭曲线C, 有 则 f (z)在B内解析 。 典型例题 例4. 计算积分 解 由 , 例5. 设C表示正向圆周 求 于是 而1+i 在C内, 所以 解 根据 , 当z在C内时, 例6. 计算积分 其中 解 (1) 根据 , (2) 根据 , (3) 根据 以及前面的结果, 解 例7. 求积分 其中n为整数. (1) n ?0时