包络定理.PPT

* 二阶条件 – 双变量函数 d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 为了使得这个方程对于x的任何方向都是负的, f11 和 f22 必须是负的 如果 dx2 = 0, 那么 d 2y = f11 dx12 为了 d 2y 0, f11 0 如果 dx1 = 0, 那么 d 2y = f22 dx22 为了d 2y 0, f22 0 * 二阶条件 – 双变量函数 d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 如果 dx1 和 dx2 都不是, 那么 d 2y 是负的仅当 f11 f22 - f122 0 二阶导数 (f11 和 f22) 负的足够大使得它们足以超过来自交叉导数 (f12 = f21)的逆效应 * 约束最大化问题 假定我们希望选择 x1 和 x2 最大化 y = f(x1, x2) 服从线性约束 c - b1x1 - b2x2 = 0 我们可以建立拉各朗日函数 L = f(x1, x2) + ?(c - b1x1 - b2x2) * 约束最大化问题 一阶条件是 f1 - ?b1 = 0 f2 - ?b2 = 0 c - b1x1 - b2x2 = 0 为了保证我们有一个最大值, 我们必须使用 “二阶” 全微分 d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 * 约束最大化问题 仅当 x1 和 x2 的值满足约束的时候，可以被看成不同于驻点的可行解 因此, 我们可以计算约束的全微分 -b1 dx1 - b2 dx2 = 0 dx2 = -(b1/b2)dx1 x1 和 x2可行的相对变化 * 约束最大化问题 因为一阶条件意味着 f1/f2 = b1/b2, 我们可以得到 dx2 = -(f1/f2) dx1 因为 d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 我们可以替代 dx2 得到 d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx12 + f22(f12/f22)dx12 * 约束最大化问题 合并同类项得到 d 2y = f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 [dx12/ f22] 因此, 为了使得 d 2y 0, 一定满足 f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 0 这个方程刻画了一系列函数，称为拟凹函数 集合中两点的连线还在集合中 * 凹和拟凹函数 凹函数和拟凹函数的差别可以利用下面这个函数说明 y = f(x1,x2) = (x1?x2)k 其中 x 取值为正，k 为正数 * 凹和拟凹函数 无论 k 取什么值, 这个函数都是拟凹的 这个函数是否是凹函数依赖于 k 的值 如果 k 0.5, 函数是凹的 如果 k 0.5, 函数是凸的 * y = f(x1,x2) = (x1?x2)0.3 * y = f(x1,x2) = (x1?x2)0.3 * y = f(x1,x2) = (x1?x2)1.5 * y = f(x1,x2) = (x1?x2)1.5 * 齐次函数 函数 f(x1,x2,…xn) 是 k阶齐次的 如果 f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn) 当函数是一阶齐次的, 所有自变量扩大一倍函数值扩大一倍 当函数是零次齐次的, 所有自变量扩大一倍函数值不变 * 齐次函数 如果一个函数是 k 次齐次的, 函数的偏导数是 k-1次齐次的 * 欧拉定理 如果我们对于比例因子 t 微分, 可以得到 ktk-1f(x1,…,xn) = x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn) 这个关系是 欧拉定理 * 欧拉定理 欧拉定理表明, 对于齐次函数, 函数值和偏导数之间具有确定性的关系 * 包络定理 因此, dy*/da = 2a/4 = a/2 = x* 但是, 我们可以利用包络定理节约时间 对于a的微小变化, dy*/da 可以通过保持x 在 x* 不变，直接从y 计算?y/ ?a * 包络定理 ?y/ ?a = x 保持 x = x* ?y/ ?a = x* = a/2 这和前面的结果相同 * 包络定理 包络定理 表示了，函数最优值对于参数的变化可以通过保持 x (或者几个x) 在最优值不变，偏微分目标函数获得 * 包络定理 包络定理可以扩展到 y 是多变量的函数 y = f(x1,…xn,a) 寻找 y 的最优值包括求解n个一阶条件方程 ?y/?xi = 0 (i = 1,…,n) * 包络定理 x 的最优值将是 a 的函数 x1* = x1*(a) x2* = x2*(a) xn*= xn*(a) . . . * 包络定理 替代