定积分的计算∫∫∫.PDF

教 案 定积分的计算 教学内容 由Newton-Leibniz 公式知道，函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取 值之差，因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。但定积分计算的目标毕竟 并非原函数而是积分的值，所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技 巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。定积分计算是微积 分中的基本技术，是学生必须掌握的技能。本节主要讲解以下几方面的内容： （1） 定积分的分部积分法； （2） 定积分的换元积分法； （3） 定积分的常用计算技巧； （4） 定积分的近似计算（数值积分法）。 教学思路和要求 （1）定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合 Newton-Leibniz 公式得出； （2 ）定积分的计算有着许多特有的技巧，特别是在处理奇偶函数、周期函数 和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时，常有一些简便的方法，需特别指出， 注意引导学生发挥主动意识，举一反三； （3）注意在讲授数值积分时强调背景思想，并指出误差估计。 教学安排 一．分部积分法 定理3.3.1 设函数 ， 在 上具有连续导数，则 u v [a, b] b b b   u(x)v (x)dx u(x)v(x)  v(x)u (x)dx ， a a a 或 b b b u(x)dv(x) u(x)v(x)  v(x)du(x) 。 a a a 只要把Newton-Leibniz 公式和不定积分的分部积分法相结合，便可得上述定 积分的分部积分公式。 0 x  A 例3.3.1 求由曲线 （ ）和 轴围成的区域的面积 。 y x sin x x 解 由定积分的几何意义知，   A x sin xdx  xd cos x 0 0   x c o sx  c o xs d x 0 0  s i nx  。 0  例3.3.2 计算I 2 sin n xdx ，其中 为非负整数。 n n 0 解 显然，  2 0  I sin xdx ，