偏微分与全微分图文.ppt

3-2 偏微分與全微分 若考慮含有 n 個自變數 x1,…, xn 的函數 則當 x2, …, xn 固定不變時，f 可視為 x1 的函數，因此依照前面的定義，可得導數 此稱為 y 對於 x1 的偏導數(partial derivative)以符號　 　　　 、fx1 或 f1 表之。 例題3-7 試求 z = 3x2-6xy2+ln(x2+y2+1) 的偏導數函數，及在點 (1,-1)之偏導數。 解： = 6x-6y2+ = -12xy+ = 6?1-6?(-1)2+ = = -12(1)(-1)+ = 12+ = 例題3-8 設某汽車工廠生產小客車與卡車的成本函數為 C = 0.12x2+0.04y2+0.04xy+320x+80y+30 其中 C 代表成本(以百萬元為單位)，x、y分別代表卡車與 小客車的生產數量(以千輛元為單位) 。 若目前的生產數量為 x=500，y=1000，試求卡車與小 客車的邊際成本(marginal cost) 、 ，並解釋其意義。 解： = 0.24x+0.04y+320 = 0.24?500+0.04?1000+320 = 480 當生產小客車數量維持不變，每多生產一輛卡車，總成本增加480000元。 = 0.08y+0.04x+80 = 0.08?1000+0.04?500+80 = 180 當生產卡車數量維持不變，每多生產一輛小客車，總成本增加180000元。 在第3-1節中，導數 所表示的是一個極限值 ，而不是兩個數量 dy、dx 的商。然而，若將符號 看成 dy 被 dx 除時 ，卻能解釋許多的現象。因此 我們先定義 dx 及 dy 的意義如下： 由於 f?(x) = lim 所以當增量 ?x 非常小時， ?y ? f?(x) ?x 若以 dy , dx 代替 ?y , ?x ，則得下面的定義： 設 y = f (x)為一函數， (1)自變數 x 的微分(differential) dx 是 x 的增量， 即 dx = ?x (2)因變數 y 的微分 dy 為 dy = f?(x) dx 由上述定義可知，y 的微分dy為 x 與 dx的函數。又 由於已知 　 = f?(x)，所以我們可將 看成兩個微分 dy 、dx 的商。再者，dy 可當作 ?y 的近似值。也就是說 ，當 x 變動時，dy 可視為因變數 y 的改變量。 例題3-9 設 y = x3，當 x = 2 ，?x = 0.01時，y 的真實變 動值為 ?y = f(x+?x) – f(x) = (2.01)3 – 23 = 8.120601 – 8 = 0.120601 若以微分 dy 來估計 ?y ，則在 x = 2，dx = 0.01， dy = f (x) dx = 3x2 dx = 3(2)2(0.01) = 0.12 其誤差為 0.120601 – 0.12 = 0.000601 以上微分 dy 的概念可推廣至n個自變數的函數。 設 y = f (x1, ……, xn)，則 我們稱 dy 為因變數 y 的全微分(total differential)。 全微分 dy 所表示的是當所有自變數 x1,?,xn一 起變動而使得因變數 y 改變的量，因此當我們令 dx1= ?x1 , dx2= ?x2 , ? , dxn= ?xn 且?x1 , ?x2 , ? , ?xn 皆非常小時，y 的增量 ?y 大約 等於 dy，即 ?y ? 例題3-10 設長方形兩鄰邊的長度分別為 x = 10 及 y =