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导数公式
基本初等函数的导数公式
已知函数:(1)y=f(x)=c;(2)y=f(x)=x;(3)y=f(x)=x2;(4)y=f(x)=eq \f(1,x);(5)y=f(x)=eq \r(x).
问题:上述函数的导数是什么?
提示:(1)∵eq \f(Δy,Δx)=eq \f(f?x+Δx?-f?x?,Δx)=eq \f(c-c,Δx)=0,∴y′=eq \o(lim,\s\do9(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=0.
2)(x)′=1,(3)(x2)′=2x,(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′=-eq \f(1,x2),(5)(eq \r(x))′=eq \f(1,2\r(x)).
函数(2)(3)(5)均可表示为y=xα(α∈Q*)的形式,其导数有何规律?
提示:∵(2)(x)′=1·x1-1,(3)(x2)′=2·x2-1,(5)(eq \r(x))′=(x)′=eq \f(1,2)x=eq \f(1,2\r(x)),∴(xα)′=αxα-1.
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sin?x
f′(x)=cos x
f(x)=cos?x
f′(x)=-sin x
f(x)=ax
f′(x)=axln a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
f′(x)=eq \f(1,xln a)
f(x)=ln x
f′(x)=eq \f(1,x)
导数运算法则
已知f(x)=x,g(x)=eq \f(1,x).
问题1:f(x),g(x)的导数分别是什么?
问题2:试求Q(x)=x+eq \f(1,x),H(x)=x-eq \f(1,x)的导数.
提示:∵Δy=(x+Δx)+eq \f(1,x+Δx)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))=Δx+eq \f(-Δx,x?x+Δx?),
∴eq \f(Δy,Δx)=1-eq \f(1,x?x+Δx?),∴Q′(x)=eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)) )eq \f(Δy,Δx)=eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)) )eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\f(1,x?x+Δx?)))=1-eq \f(1,x2).同理H′(x)=1+eq \f(1,x2).
问题3:Q(x),H(x)的导数与f(x),g(x)的导数有何关系?
提示:Q(x)的导数等于f(x),g(x)导数的和,H(x)的导数等于f(x),g(x)导数的差.
导数运算法则
1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
2.[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
3.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′=eq \f(f′?x?g?x?-f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)
题型一 利用导数公式直接求导
[例1] 求下列函数的导数:(1)y=10x;(2)y=lg x;(3);
(4)y=eq \r(4,x3);(5).
[解] (1)y′=(10x)′=10xln 10;(2)y′=(lg x)′=eq \f(1,xln 10);
y′=eq \f(1,xln \f(1,2))=-eq \f(1,xln 2);(4)y′=(eq \r(4,x3))′=eq \f(3,4\r(4,x));(5)∵y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(x,2)+cos \f(x,2)))2-1=sin2eq \f(x,2)+2sineq \f(x,2)coseq \f(x,2)+cos2eq \f(x,2)-1=sin x,∴y′=(sin x)′=cos x.
练习 求下列函数的导数:
(1)y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x;(2)y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x;(3)y=lg 5;(4)y=3lgeq \r(3,x);(5)y=2cos2eq \f(x,2)-1.
解:(1)y′=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x))′=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))xlneq \f(1,e)=-eq \f(1,ex)=-e-x;(2)
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