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导数公式 基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝eq \f(1,x)；(5)y＝f(x)＝eq \r(x). 问题：上述函数的导数是什么？ 提示：（1）∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx)＝eq \f(c－c,Δx)＝0，∴y′＝eq \o(lim,\s\do9(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝0. 2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)，(5)(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x)). 函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)(eq \r(x))′＝(x)′＝eq \f(1,2)x＝eq \f(1,2\r(x))，∴(xα)′＝αxα－1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin?x f′(x)＝cos x f(x)＝cos?x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝eq \f(1,xln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) 导数运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝eq \f(1,x). 问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 问题2：试求Q(x)＝x＋eq \f(1,x)，H(x)＝x－eq \f(1,x)的导数． 提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋eq \f(1,x＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝Δx＋eq \f(－Δx,x?x＋Δx?)， ∴eq \f(Δy,Δx)＝1－eq \f(1,x?x＋Δx?)，∴Q′(x)＝eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)) )eq \f(Δy,Δx)＝eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)) )eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x?x＋Δx?)))＝1－eq \f(1,x2).同理H′(x)＝1＋eq \f(1,x2). 问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ 提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． 导数运算法则 1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 3.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0) 题型一 利用导数公式直接求导 [例1]　求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lg x；(3)； (4)y＝eq \r(4,x3)；(5). [解]　(1)y′＝(10x)′＝10xln 10；(2)y′＝(lg x)′＝eq \f(1,xln 10)； y′＝eq \f(1,xln \f(1,2))＝－eq \f(1,xln 2)；(4)y′＝(eq \r(4,x3))′＝eq \f(3,4\r(4,x))；(5)∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(x,2)＋cos \f(x,2)))2－1＝sin2eq \f(x,2)＋2sineq \f(x,2)coseq \f(x,2)＋cos2eq \f(x,2)－1＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x. 练习 求下列函数的导数： (1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x；(3)y＝lg 5；(4)y＝3lgeq \r(3,x)；(5)y＝2cos2eq \f(x,2)－1. 解：(1)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))xlneq \f(1,e)＝－eq \f(1,ex)＝－e－x；(2)